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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 45

Suponha que tenhamos 10 moedas tais que, se a i-ésima moeda for jogada, a probabilidade de ela dar cara é igual a i/10, i =1, 2, ..., 10. Quando uma das moedas é selecionada aleatoriamente e jogada, ela dá cara. Qual é a probabilidade condicional de que tenha sido a quinta moeda?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos enumerar os eventos, que são atrelados as moedas e como elas caem no sorteio, com essas informações, podemos definir os seguintes eventos:

E i = A   i - é s i m a   m o e d a   é   e s c o l h i d a ,   p a r a   i = 1,2 , … 10  

H = A   m o e d a   j o g a d a   d á   c a r a

Como as moedas são escolhidas aleatoriamente e não tem nada de viciado nesse sorteio, então a probabilidade para cada moeda é a mesma, com isso, nós obtemos o seguinte resultado:

P E i = 1 10 ,     p a r a   i = 1,2 ,   … , 10

A propriedade dessas moedas é que quando a moeda é jogada é do tipo cara

P H E i = i 10 ,     p a r a   i = 1,2 , … ,   10

Passo 2

Como E 1 ,   E 2 até E 10 são hipóteses concorrentes (eventos mutuamente exclusivos cuja união é o espaço amostral), logo, vamos aplicar a fórmula de Bayes para este caso, logo

P E 5 H = P H E 5 P E 5 ∑ i = 1 10 P H E i P ( E i )

Substituindo as probabilidades conhecidas, nós temos que

P E 5 H = 5 10 ∙ 1 10 1 10 ∙ ∑ i = 1 10 i 10   = 1 11

Passo 3

Com isso, o resultado é igual a P E 5 H = 1 11

Resposta

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