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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 17

Suponha que n tentativas independentes sejam realizadas, com a tentativa i sendo bem-sucedida com probabilidade 1 2 i + 1 . Seja P n a probabilidade de que o número total de sucessos seja um número ímpar.

(a) Determine P n , para n = 1,2,3,4,5.

(b) Obtenha uma fórmula geral para P n .

(c) Deduza uma fórmula para P n , em termos de P n - 1 .

(d) Verifique que fórmula obtida na letra (b) satisfaz a fórmula recursiva na letra (c). Como a fórmula recursiva tem solução única, isso prova que você estava correto.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Seja S i seja o evento em que a 1ª tentativa resulta em sucesso e seja E n , o evento em que o número de sucessos em n tentativas totais é ímpar.

(a) A probabilidade P ( E 1 ) é a probabilidade da primeira tentativa ser um sucesso, então temos

P E 1 = P S 1 = 1 2.1 + 1 = 1 3

A probabilidade P ( E 2 ) é a união dos eventos independentes onde a primeira tentativa é um sucesso e a segunda tentativa é um fracasso ou a primeira tentativa é um fracasso e a segunda tentativa é um sucesso. Por isso:

E 2 = S 1 S 2 c ∪ S 1 c S 2

Então,

P ( E 2 ) = P ( S 1 S 2 c )   + P ( S 1 c S 2 ) =   1 3 . 4 5 + 2 3 . 1 5 =   6 15 = 2 5

A probabilidade P ( E 3 ) é a união dos eventos independentes onde temos três sucessos ou um sucesso e dois fracassos. Por isso:

E 3 = S 1 S 2 S 3 ∪ S 1 S 2 c S 3 c ∪ S 1 c S 2 S 3 c   ∪ S 1 c S 2 c S 3

Então,

P ( E 3 ) = P ( S 1 S 2 S 3 ) + P ( S 1 S 2 c S 3 c )   +   P ( S 1 c S 2 S 3 c )   +   P ( S 1 c S 2 c S 3 )

P ( E 3 ) = 1 3 . 1 5 . 1 7 + 1 3 . 4 5 . 6 7 + 2 3 . 1 5 . 6 7 + 2 3 . 4 5 . 1 7 = 45 105 = 3 7  

Da mesma forma a probabilidade P ( E 4 ) é a união dos eventos independentes onde temos três sucessos com um fracasso ou um sucesso com três fracassos. Assim, a probabilidade P ( E 4 ) é dada por

E 4 = S 1 c S 2 S 3 S 4 ∪ S 1 S 2 c S 3 S 4 ∪ S 1 S 2 S 3 c S 4 ∪ S 1 S 2 S 3 S 4 c ∪   S 1 S 2 c S 3 c S 4 c ∪ S 1 c S 2 S 3 c S 4 c ∪ S 1 c S 2 c S 3 S 4 c   ∪ S 1 c S 2 c S 3 c S 4

Então, calculando as probabilidades, temos:

P ( E 4 ) = 2 945 + 4 94 5 + 6 945 + 8 9 45 + 192 945 + 96 945 + 64 945 + 48 945 = 420 945 = 4 9

Seguindo o mesmo raciocínio para P ( E 5 ) que é a união dos eventos independentes onde temos quatro sucessos com um fracasso ou um sucesso com quatro fracassos. Assim, a probabilidade P ( E 5 ) é dada por:

P ( E 5 ) = 4 725 10395 = 5 11

Passo 2

(b) Observando os resultados de P ( E n ) para n = 1, 2, 3, 4 e 5 percebemos a seguinte sequência

1 3 ,     2 5 ,     3 7 ,     4 9 ,     5 11 ,   …  

Onde os numeradores são dados exatamente por n, e os denominadores são a sequência dos números ímpares, que pode ser denotada por 2n + 1. Assim, temos:

P ( E n ) = n 2 n + 1

Passo 3

(c) Agora P n , é a probabilidade de termos um número ímpar de sucessos em n tentativas e P n - 1 deve ser a probabilidade de termos um número ímpar de sucesso em n — 1 tentativas. Podemos calcular P n em termos de P n - 1 condicionando o resultado da última tentativa. Se o resultado da enésima tentativa for um sucesso, o número de sucessos no total de n tentativas será ímpar se e somente se o número de sucessos nas primeiras n — 1 tentativas for par. Este último evento acontece com probabilidade 1— P n - 1 . Ao mesmo tempo, se o resultado da enésima tentativa for falha, o número de sucessos em n tentativas será ímpar se e somente se o número de sucessos na primeira n — 1 ensaios é estranho. Assim acabamos de argumentar que

P n = 1 2 n + 1 1 - P n - 1 + 1 -   1 2 n + 1 ( P n - 1 )

P n = 1 2 n + 1 1 - P n - 1 +   2 n 2 n + 1 ( P n - 1 )

P n = 1 2 n + 1 +   2 n - 1 2 n + 1 ( P n - 1 )

Passo 4

(d) Considerando o resultado obtido em (b)

P ( E n ) = n 2 n + 1

E definindo para n – 1, temos:

P ( E n - 1 ) = n - 1 2 ( n - 1 ) + 1 = n - 1 2 n - 1

Aplicando tal expressão no resultado de (c) temos que:

P n = 1 2 n + 1 +   2 n - 1 2 n + 1 n - 1 2 n - 1

P n = 1 2 n + 1 +   n - 1 2 n + 1

P n = n 2 n + 1

Que é justamente a mesma fórmula proposta para P ( E n ) , como queríamos demonstrar.

Resposta

  1. P E 1 = 1 3 ,   P E 2 = 2 5 ,   P E 3 = 3 7 ,   P E 4 = 4 9 ,   P E 5 = 5 11

  2. P ( E n ) = n 2 n + 1

  3. P n = 1 2 n + 1 +   2 n - 1 2 n + 1 ( P n - 1 )

  4. Veja a demonstração.