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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 4

Se X e Y têm função densidade conjunta

f X , Y x , y = 1 y ,     s e   0 < y < 1 ,     0 < x < y 0 ,         c a s o   c o n t r á r i o

Determine

A – E X Y

B – E X

C – E [ Y ]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A função de densidade conjunta já é dada no enunciado, agora vamos calcular a esperança em cada um dos casos

A – A esperança de X Y é dada por

E X Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x y f X , Y x , y d x d y

Podemos diminuir os intervalos dessas integrais, já que a função de densidade é definida em um intervalo bem específico

E X Y =   ∫ 0 1 ∫ 0 y x y 1 y d x d y

Separando as integrais, nós temos que

E X Y =   ∫ 0 1 ∫ 0 y x   d x d y

Resolvendo a integral interna, nós obtemos o seguinte resultado

E X Y =   ∫ 0 1 x 2 2 0 y d y

Logo

E X Y = ∫ 0 1 y 2 2   d y

Com isso, chegamos ao seguinte resultado

E X Y = y 3 6 0 1 = 1 6

Passo 2

B – No caso de E [ X ] , nós temos que

E X = ∫ - ∞ ∞ x f x x   d x

Com isso, podemos manipular essa esperança da seguinte forma

E X =   ∫ - ∞ ∞ x ∫ - ∞ ∞ f x , y x , y   d x d y  

Jogando o “x” para a integral de dentro

E X =   ∫ - ∞ ∞ x f x , y x , y   d x d y

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

E X =   ∫ 0 1 ∫ 0 y x y   d x d y

Que tem como resultado

E X =   ∫ 0 1 1 y ∙ y 2 2   d y =   y 2 4 0 1

Logo,

E X = 1 4

Passo 3

C – Já no caso de E [ Y ] , nós obtemos o seguinte resultado

E Y = ∫ - ∞ ∞ y f y y   d y

Com isso, utilizando do mesmo raciocínio da questão anterior

E Y =   ∫ - ∞ ∞ y   ∫ - ∞ ∞ f x , y   x , y   d x d y

Jogando o “y” para a integral de dentro, nós obtemos o seguinte resultado

E Y =   ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ y f x , y x , y   d x d y

Com isso, nós obtemos a seguinte configuração

E Y =   ∫ 0 1 y   ∫ 0 y 1 y   d x d y

Com isso, nós temos que

E Y =   ∫ 0 1 y ∙ d y = 1 2

Resposta

a ) 1 6

b ) 1 4

c ) 1 2