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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 51

Uma trabalhadora pediu ao seu supervisor uma carta de recomendação para um novo emprego. Ela estima que existam 80% de chances de ela conseguir o emprego se ela receber uma boa recomendação, 40% de chances se ela receber uma recomendação moderadamente boa, e 10% de chances se ela receber uma recomendação fraca. Ela ainda estima que as probabilidades de ela receber recomendações boas, moderadas e fracas são de 0,7, 0,2 e 0,1, respectivamente.

(a) Quão certa ela está de receber a nova oferta de trabalho?

(b) Dado que ela receba a oferta, na opinião dela qual terá sido a probabilidade de ela ter recebido uma boa recomendação? Uma recomendação moderada? Uma recomendação fraca?

(c) Dado que ela não receba a oferta, na opinião dela qual terá sido a probabilidade de ela ter recebido uma boa recomendação? Uma recomendação moderada? Uma recomendação fraca?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos denotar os eventos como J: Ela recebe a oferta de emprego. NJ: Ela não recebe a oferta de emprego. S: Ela recebe uma forte recomendação. W: ela recebe uma recomendação fraca. Além disso, dada uma recomendação forte (ou moderada ou fraca), conseguir um emprego são eventos perfeitamente complementares e, portanto, devem somar 1.

Então suas probabilidades são dadas da seguinte forma

P J S = 0,8   ; P S = 0,7

P J M = 0,4   ; P M = 0,2

P J W = 0,1   ; P W = 0,1

P N J S = 0,2

P N J M = 0,6

P N J W = 0,9

Passo 2

A - Como a probabilidade de receber recomendações fortes, moderadas e fracas soma um, podemos dizer com certeza que ela deve ter conseguido o emprego por meio de um dos três tipos de recomendações. Em seguida, aplicamos a regra de Bayes em cada termo, e o resto das probabilidades já são conhecidas, com isso, nós temos que

P J = P J , S + P J , M + P ( J , W )

Expandindo os termos, nós temos que

P J = P S P J S + P M P J M + P W P ( J | W )

Substituindo os termos conhecidos, nós conseguimos obter o seguinte resultado

P J = 0,7 ∙ 0,8 + 0,2 ∙ 0,4 + 0,1 ∙ 0,1 = 0,65

Passo 3

B – Aplicando a regra de Bayes em cada termo individual

P S J = P J S P S P ( J )

Substituindo os valores, obtemos

P S J = 0,8 ∙ 0,7 0,65 = 0,86

De modo similar,

P M J = P J M P M P J

Fazendo a substituição de valores:

P M J = 0,4 ∙ 0,2 0,65 = 0,123

E

P W J = P J W P W P ( J )

Substituindo...

P W J = 0,1 ∙ 0,1   0,65 = 0,0154

Passo 4

C - NJ e J são eventos complementares e, portanto, devem somar 1. O restante da solução segue o mesmo da parte anterior

P N J = 1 - P J = 0,35

Fazendo os cálculos para as probabilidades envolvendo NJ, nós temos

P S N J = P N J S P S P N J = 0,2 ∙ 0,7 0,35 = 0,4

De modo similar

P M N J = P N J M P M P ( N J ) = 0,6 ∙ 0,2 0,35 = 0,343

E finalmente,

P W N J = P N J W P W P ( N J ) = 0,9 ∙ 0,1   0,35 = 0,257

Resposta

a )   0,65

b )   0,86   ;   0,123   ; 0,0153

c )   0,4   ; 0,343   ; 0,257