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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios Teóricos - Ex. 27

Se X é uniformemente distribuída em (a, b), qual variável aleatória que varia linearmente com X é uniformemente distribuída em (0,1)?

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Antes, vamos ver aqui a fórmula da nossa densidade de probabilidade f(x):

f x = 1 b - a ,       a ≤ x ≤ b 0 ,       d i f e r e n t e

Além disso, também vamos precisar:

E X = a + b 2

V a r X = b - a 2 12

Beleza, agora vamos começar com as contas.

Passo 2

Vamos dizer que Y = α X + β é uma variável aleatória que está linearmente relacionada com X e uniformemente distribuída sobre ( 0,1 ) . Então:

E X = a + b 2

E X = 0 + 1 2 = 1 2

Então:

E α X + β = 1 2

α E X + β = 1 2

α ( a + b ) 2 + β = 1 2

Logo:

α ( a + b ) + 2 β = 1

Passo 3

Show, agora vamos fazer os mesmos procedimentos do Passo 2 para o V a r ( X ) :

a , b = ( 0,1 )

V a r X = b - a 2 12

V a r X = 1 - 0 2 12 = 1 12

Substituindo Y = α X + β :

V a r α X + β = 1 12

α ² b - a 2 12 = 1 12

α ² b - a 2 = 1

α b - a = ± 1

Ou seja:

α b - a = 1 → α = 1 b - a

α b - a = - 1 → α = - 1 b - a

Passo 4

Beleza, agora vamos pegar o resultado de α que achamos no Passo 3 e jogar na fórmula do Passo 2:

α ( a + b ) + 2 β = 1

α = 1 b - a

( a + b ) b - a + 2 β = 1

2 β = 1 - ( a + b ) ( b - a )

Trabalhando a função, vamos encontrar que:

β = - a b - a

Agora fazendo para o outro resultado de α :

α ( a + b ) + 2 β = 1

α = - 1 b - a

Substituindo:

- ( a + b ) b - a + 2 β = 1

2 β = 1 + ( a + b ) ( b - a )

Logo:

β = b b - a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)