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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 6º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 1

Usando os dados do Exemplo 15.1:

(a) Encontre a reta de mínimos quadrados z ^ i =   α + β x i , onde z mede a acuidade visual e x , a idade.

(b) Interprete o significado de α e β nesse problema.

(c) Para cada indivíduo, encontre o desvio e ^ i = z i   – z ^ i ; existe algum com valor muito exagerado?

Passo 1

Galera, o Exemplo 15.1 se encontra na página 423, beleza? 😉

(a) Encontre a reta de mínimos quadrados z ^ i =   α + β x i , onde z mede a acuidade visual e x , a idade.

Bom, galera. Esse é um clássico exercício de regressão linear, em que nós temos os dados da amostra e precisamos achar a reta de mínimos quadrados, ou seja, precisamos estimar os coeficientes α e β , usando aquelas formulinhas da teoria

β = n . ∑ c o l u n a x z - ∑ x . ∑ z n . ∑ x 2 - ∑ x 2

α = z - - β x -

Onde nesse caso:

n = 20 ,   x = { 20 ,   20,20,20,25,25,25,25,30,30,30,30,35,35,35,35,40,40,40,40 } e z = { 90,100,80,90,100,90,80,90,70,90,90,80,90,80,70,90,90,90,60,80 } . E lembrando que a variável com a barra em cima é a média amostral dela 😉.

Passo 2

Aqui é a parte chata, em que a gente tem que fazer um monte de contas, por estarmos trabalhando com um n de tamanho 20, sugiro que vocês usem o Excel ou peguem uma calculadora, bora lá?

β = - 0,55

α = 101,50

z ^ i = 101,50 - 0,55 x i

Pronto! Achamos a reta ajustada pelos MQ.

Passo 3

(b) Interprete o significado de α e β nesse problema.

Na letra (b), precisamos explicar o significado de α (coeficiente linear) e β (coeficiente angular).

Vamos começar pelo β .

Como ele é o termo que está próximo de x , e x é a idade dos indivíduos, β significa que a acuidade visual média estimada diminui 0,55 a cada ano que passa.

Agora o α .

Como α é o termo que está “sozinho”, e é igual a z quando x = 0 , ele nos diz que a acuidade visual média estimada para recém-nascidos (zero anos de idade) é de 101,50.

Passo 4

(c) Para cada indivíduo, encontre o desvio e ^ i = z i   – z ^ i ; existe algum com valor muito exagerado?

Vamos encontrar para o 1° indivíduo:

- z 1 = 90

-   z ^ 1 = 101,50 - 0,55 x 1 = 101,50 - 0,55   .   20 = 90,50

Logo

e ^ 1 = 90 - 90,50 = - 0,50

Seguindo esse mesmo raciocínio, devemos fazer para os 19 indídivuos restantes.

Aí, eu deixo com vocês, é bem tranquilo, né? É mais trabalho braçal mesmo.

Os valores encontramos serão: –0,5; 9,5; -10,5; -0,5; 12,3; 2,3; etc. Ocorrendo um desvio alto para o indivíduo 19 de -19,5.

Resposta

(a)   z ^ i = 101,50 - 0,55 x i

(b) α ^ : a acuidade visual média estimada para recém-nascidos (zero anos de idade) é 101,50; β ^ : a acuidade visual média estimada diminui 0,55 a cada ano.

(c) –0,5; 9,5; -10,5; -0,5; 12,3; 2,3; etc. Ocorre desvio alto para o indivíduo 19 (-19,5).

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