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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios Teóricos - Ex. 26

Se X é uma variável aleatória beta com parâmetros a e b, mostre que

E X = a a + b

V a r X = a b a + b 2 ( a + b + 1 )

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Antes, vamos ver aqui a fórmula da nossa f(x):

f x = 1 β a , b x a - 1 ( 1 - x ) b - 1   ,   0 < x < 1

Ok, mas aonde vamos usar a nossa f(x)? Na fórmula do E ( X ) :

E x = ∫ 0 1 x . f x d x = ∫ 0 1 x . 1 β a , b x a - 1 ( 1 - x ) b - 1 d x

Show, vamos jogar para fora da integral tudo que não envolve x :

E x = 1 β a , b ∫ 0 1 x . x a - 1 ( 1 - x ) b - 1 d x

E x = 1 β a , b ∫ 0 1 x a - 1 + 1 ( 1 - x ) b - 1 d x

Vamos multiplicar tanto em cima quanto embaixo por β a + 1 , b :

E x = β a + 1 , b β a , b × 1 β a + 1 , b ∫ 0 1 x a - 1 + 1 ( 1 - x ) b - 1 d x

E x = β a + 1 , b β a , b ∫ 0 1 1 β a + 1 , b x a - 1 + 1 ( 1 - x ) b - 1 d x

E x = β a + 1 , b β a , b × 1

Show, ao fazer as contas, vamos achar que:

E x = a a + b

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)