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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 4

A variável aleatória X tem função densidade de probabilidade

f ( x ) = { a . x + b . x 2 ,   0 < x < 1 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o  

Se E[X] = 0,6, determine

  1. P [ X < 1 2 ] ;
  2. V a r   ( X ) .

Passo 1

E aí..... Tudo Beleza? Bora para o exercício =)

Em um primeiro momento devemos descobrir o valor de a e b, isso pode ser realizado de acordo com as informações do problema, levando em conta que:

E X = ∫ x i . f x i d x

Considerando isso temos que:

∫ 0 1 a . x + b . x 2 d x = 1 → a . x 2 2 ​ 0 1 + b . x 3 3 ​ 0 1 = 1 → a 2 + b 3 = 1

∫ 0 1 x . a . x + b . x 2 . d x = 0,6 → ∫ 0 1 a . x 2 + b . x 3 = 0,6 → a . x 3 3 ​ 0 1 + b . x 4 4 ​ 0 1 = 0,6  

a 3 + b 4 = 0,6

Para descobrir a incógnita devemos resolver o sistema encontrado:

{ a 2 + b 3 = 1 a 3 + b 4 = 0,6 ⇒ i s o l a n d o   a   i n c ó g n i t a   t e m o s   a = 0,6 - b 4 = 1,8 - 3 . b 4 =

1,8 - 3 . b 4 2 + b 3 = 1 → 0,9 - 3 . b 8 + b 3 = 1 → - 3.3 . b 8.3 + 8 . b 3.8 = 0,1 → - b 24 = 0,1 → b = - 2,4  

Substituindo na primeira equação temos o valor de a:

a = 1,8 - 3 . b 4 → a = 1,8 - 3 . - 2,4 4 → a = 1,8 + 1,8 = 3,6

Passo 2

Com o valor das incógnitas podemos então resolver as questões solicitadas, começando pela letra a:

P X < 1 2 = ∫ 0 1 2 a . x + b . x 2 d x → ∫ 0 1 2 3,6 . x - 2,4 . x 2 . d x → 3,6 . x 2 2 ​ 0 1 2 - 2,4 . x 3 3 ​ 0 1 2 = 0,35

Passo 3

Para resolver a segunda parte da questão devemos considerar que a fórmula de V a r   X ,   demonstrada logo abaixo:

V a r X = E X 2 - E X 2

Sendo assim, descobriremos os valores para aplicar na fórmula:

E X = 0,6

E X 2 = ∫ 0 1 x . a . x + b . x 2 . d x → E X 2 = ∫ 0 1 3,6 . x 2 - 2,4 . x 3 . d x

E X 2 = 3,6 . x 3 3 ​ 0 1 - 2,4 . x 4 4 ​ 0 1 → E X 2 = 0,42

Sendo assim, agora podemos aplicar os valores na fórmula:

V a r X = E X 2 - E X 2 = 0,42 - 0,6 2 = 0,06

Resposta

  1. P X < 1 2 = 0,35 ;
  2. V a r   X = 0,06 .