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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 17

Verifique analiticamente a igualdade a seguir:

(n 2) = (k 2) + k(n-k) + k(n-k 2)

1

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos demonstrar outra identidade.

A expressão pedida é:

n 2 = k 2 + k n - k + n - k 2 ,   1 ≤ k ≤ n

Passo 2

Vamos desenvolver o lado direito da equação:

k 2 + k n - k + n - k 2 = k k - 1 2 + 2 k n - k 2 + n - k n - k - 1 2                                                   = 1 2 k 2 - k + 2 k n - 2 k 2 + n 2 - 2 n k + k 2 - n + k

= n 2 - n 2

= n n - 1 2 !

= n 2

Resposta

Assim como queríamos provar:

n 2 = k 2 + k n - k + n - k 2