Verifique a fórmula para a função geratriz de momentos de uma variável aleatória uniforme dada na Tabela 7.7 Além disso, calcule a sua derivada para verificar as fórmulas de média e variância.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos usar a definição da função geratriz de momentos, nós temos que

M t = E e t X = ∫ a b e t x f X x   d x = ∫ a b e t x 1 b - a   d x

Resolvendo essa integral, nós obtemos o seguinte resultado

M t = [ 1 t b - q e t x ] a b = e b t - e a t t ( b - a )

Agora, nós vamos determinar a média e a variância pela derivada da função geratriz de momentos

M ' t = b e b t - a e a t t b - a - ( e b t - e a t ) ( b - a ) t 2 b - a 2

O que implica em

E X = lim t → 0 ⁡ M ' t = lim t → 0 ⁡ b t - 1 e b t + 1 - a t e a t b - a t 2

Com isso, nós temos que

E X = a + b 2

Passo 2

O limite acima pode ser obtido usando a regra de L’Hospital, portanto, nós temos

M ' ' t = b 2 t 2 - 2 b t + 2 e b t + - a 2 t 2 + 2 a t - 2 e a t b - a t 3

Portanto,

E X 2 = 1 3 a 2 + a b + b 2

E vamos utilizar esta informação para obter a variância

V a r X = E X 2 - E X 2

Com isso

V a r X =   1 3 a 2 + a b + b 2 - a + b 2 4 = b - a 2 12

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)