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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios Teóricos - Ex. 20

Verifique que

V a r X = α λ 2

quando X é uma variável aleatória gama com parâmetros α e λ .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos encontrar o primeiro e o segundo momento de X se X   ~   G a m m a ( α , λ ) . Para qualquer

inteiro positivo k , temos que

E X k = λ α Γ ( α ) ∫ 0 ∞ x k + α - 1 e - λ x   d x

Com isso, fazendo a substituição de s = λ x . Portanto, a expressão pode ser escrita como

E X k = λ α Γ α ∫ 0 ∞ s λ k + α - 1 e - s λ d s    

Nós obtemos dessa integral o seguinte resultado

E X k = Γ k + α λ k ∙ Γ ( α )

Passo 2

Esse resultado obtido no passo anterior, implica que

E X = Γ α + 1 λ ∙ Γ α = α ∙ Γ α λ ∙ Γ α = α λ  

E

E X 2 = Γ α + 2 λ 2 ∙ Γ ( α ) = α + 1 α Γ ( α ) λ 2 ∙ Γ ( α ) = α + 1 α λ 2

Finalmente, nós temos que

V a r X = E X 2 - E X 2

Com isso, nós temos que

V a r X = α + 1 α λ 2 - α 2 λ 2 = α λ 2

Nós provamos o que foi pedido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)