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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 3a

1.2.3 Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais.

a. O conjunto das funções f em C 0 [ - 1,1 ] tais que f - 1 = f ( 1 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Queremos verificar que o conjunto das funções f em C 0 [ - 1,1 ] tais que f - 1 = f 1   é um espaço vetorial, para isso temos que saber se as operações de soma e multiplicação por escalar estão bem definidas, ou seja, se (0) f , g ∈   F , onde F = C 0 [ - 1,1 ] , então f + g ∈ F e (0’) se f ∈ F e α ∈ R , então α f ∈ F .

Veja que se pegarmos duas funções quaisquer tais que, f - 1 = f ( 1 ) ∈ F e g ( - 1 ) = g ( 1 ) ∈ F , perceba que f + g - 1 =   f - 1 + g - 1 = f 1 + g ( 1 ) = f + g 1 ∈   F . Desse modo, a operação soma está bem definida.

Agora, considere α ∈   R e f - 1 = f 1 ∈ F , implica que, α v = α f - 1 = α f 1 = α f - 1 = ( α f ) ( - 1 ) ∈   F . Assim, a operação multiplicação por escalar está bem definida.

Resposta

O conjunto das funções f em C 0 [ - 1,1 ] tais que f - 1 = f 1   é um espaço vetorial.