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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 20b

Achar as equações da reta que intercepta as retas r 1 e r 2 e é perpendicular a ambas.

b) x = - 1 + t y = 2 + 3 t z = 4 t   ,   t ∈ R

r 2 : x = y - 4 2 = z - 3 3

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Pra começar, vamos escrever r 2 na forma paramétrica, que é a forma que vamos utilizar:

r 2 : x = y - 4 2 = z - 3 3

x = s

s = y - 4 2 → 2 s = y - 4 → y = 2 s + 4  

s = z - 3 3 → 3 s = z - 3 → z = 3 s + 3

Beleza! Agora podemos escrever pontos genéricos pertencentes a r 1   e   r 2 , que podemos denotar como:

P r 1 = - 1 + t ,   2 + 3 t ,   4 t

P r 2 = s ,   2 s + 4 ,   3 s + 3

Passo 2

Agora olha só: o vetor P r 1 P r 2 → liga qualquer ponto de r 1 a r 2 . E esse vetor é:

P r 1 P r 2 → = 1 - t + s ,   2 - 3 t + 2 s ,   3 - 4 t + 3 s

Queremos que esse vetor seja perpendicular ao vetor de r 1 : 1,3 , 4     e   r 2 : 1,2 , 3   ao mesmo tempo. Para isso, o produto interno entre eles tem que ser zero.

Então, iremos resolver:

P r 1 ⋅ 1,3 , 4 :   1 - t + s + 6 - 9 t + 8 s + 12 - 16 t + 12 s = 0 P r 2 ⋅ 1,2 , 3 :   1 - t + s + 4 - 6 t + 4 s + 9 - 12 t + 9 s = 0

19 - 26 t + 21 s = 0 14 - 19 t + 14 s = 0

Vamos resolver esse sistema então!

Passo 3

Resolvendo o sistema...

t = 14 19 + 14 19 s  

Substituindo:

19 - 26 14 19 + 14 19 s + 21 s = 0

s = 3 35

Então:

t = 14 19 + 14 19 3 35 = 4 5

Passo 4

Substituindo esses valores nos pontos e no vetor lá de cima, temos:

P r 1 P r 2 → = 1 - 4 5 + 3 35 ,   2 - 3 4 5 + 2 3 35 ,   3 - 4 4 5 + 3 3 35

= 2 7 ,   - 8 35 , 2 35

Esse é o vetor da reta procurada.

Podemos considerar então que ela passa pelo ponto P r 1 = - 1 + 4 5 ,   2 + 3 4 5 ,   4 4 5 = - 1 5 , 22 5 , 16 5 .

A reta procurada então é:

x = - 1 5 + 2 7 k y = 22 5 - 8 35 k z = 16 5 + 2 35 k           k ∈ R

Resposta

x = - 1 5 + 2 7 k y = 22 5 - 8 35 k z = 16 5 + 2 35 k           k ∈ R