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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 2d

Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor do operador T: R n → R n , definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:

a) 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c) 1 2 0 - 1 3 4 3 2 0 0 0 0 3 3 0 2 d) 2 2 0 2 3 4 3 2 0 0 0 0 1 1 0 1

Passo 1

Salve, tudo belezinha? Vamos fazer mais uma questão de algebrinha? Partiu então

Temos a seguinte matriz

2 2 0 2 3 4 3 2 0 0 0 0 1 1 0 1

Vamos começar subtraindo o λ identidade

2 - λ 2 0 2 - λ 3 4 3 2 0 0 0 0 1 - λ 1 0 1 - λ

Temos aqui um triangulo de zeros abaixo da diagonal, logo o determinante é calculado somente com o produto da diagonal principal.

Ficando assim 2 - λ 2 - λ 1 - λ 1 - λ = 0

Note que teremos somente dois valores de λ. λ = 2   e   1

Vamos agora encontrar os auto-vetores que nesse caso aqui serão apenas dois.

Passo 2

Vamos começar com 2

2 - 2 2 0 2 - 2 3 4 3 2 0 0 0 0 1 - 2 1 0 1 - 2 =0

Em forma de sistema vai ficar

2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 3 x 3 + 2 x 4 = 0 - x 3 + x 4 = 0 - x 4 = 0

Note que pelo sistema teremos que todos valores presentes nas equações são zero. Ou seja o único valor que não está presente vai ser o que a gente vai usar no nosso vetor que é o x 1

x 1 0 0 0 = x 1 1 0 0 0

Logo o mesmo é base, pois ele gera e também é diferente do vetor nulo então é LI.

Passo 3

Bora fazer para o 1 agora

2 - 1 2 0 2 - 1 3 4 3 2 0 0 0 0 1 - 1 1 0 1 - 1

Em formato de sistema de equações fica

x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0 x 4 = 0 0 = 0

Aqui podemos tirar o x 4 = 0 e na segunda equação podemos tirar que x 2 = - 3 x 3

Usando isso na primeira equação teremos então que x 1 = 3 x 3

Logo escrevendo nosso vetor em função de x 3

3 x 3 - 3 x 3 x 3 0 = x 3 3 - 3 1 0

Logo nosso vetor é gerado e diferente do nulo, então é LI portanto também é gerado como demonstrado acima.

Acabamos mais um, partiu tentar outro?

Resposta

λ = 2   e   1