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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 2c

Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor do operador T: R n → R n , definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:

a) 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c) 1 2 0 - 1 3 4 3 2 0 0 0 0 3 3 0 2 d) 2 2 0 2 3 4 3 2 0 0 0 0 1 1 0 1

Passo 1

Salve, partiu resolver mais uma questão de álgebra?

Temos a seguinte matriz

1 2 0 - 1 3 4 3 2 0 0 0 0 3 3 0 2

Repare que temos zeros abaixo da diagonal o que torna nosso determinante simples de encontrar. Vamos subtrair λ identidade da matriz para encontrar os auto-valores,

Logo temos

1 - λ 2 0 - 1 - λ 3 4 3 2 0 0 0 0 3 - λ 3 0 2 - λ

O determinante é simples, basta fazer o produto da diagonal principal.

Teremos então 1 - λ - 1 - λ 3 - λ 2 - λ =0

Note que basta zerar qualquer um dos parênteses que temos tudo igual a zero

Então λ = 1 , - 1,3 , 2

Temos quatro valores para λ , isso mostra que temos que fazer quatro auto-vetores. Bora lá

Passo 2

Primeiro para λ = 1

1 - 1 2 0 - 1 - 1 3 4 3 2 0 0 0 0 3 - 1 3 0 2 - 1

Em forma de sistema teremos

2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 - 2 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0 2 x 3 + 3 x 4 = 0 x 4 = 0

Note que todos valores serão 0, menos o x 1 , então podemos fazer o seguinte

x 1 0 0 0 = x 1 1 0 0 0

É base, pois gera e é diferente do vetor nulo, logo é LI.

Próximo valor que vamos testar é -1

1 + 1 2 0 - 1 + 1 3 4 3 2 0 0 0 0 3 + 1 3 0 2 + 1

Passando para sistema temos

2 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 3 x 3 + 2 x 4 = 0 4 x 3 + 3 x 4 = 0 3 x 4 = 0

Observe que pela terceira e pela quarta equação temos que x 3 e x 4 são zero. Também podemos ver que isso implica que x 2 é igual a x 1 , mas com sinal oposto

Logo nosso auto-vetor vai ficar.

x 1 - x 1 0 0 = x 1 1 - 1 0 0

É base, pois ele gera é diferente do vetor nulo e LI.

Passo 3

Tá quase, vamos para o terceiro valor que é 3

1 - 3 2 0 - 1 - 3 3 4 3 2 0 0 0 0 3 - 3 3 0 2 - 3

Colocando na forma de sistema temos então

- 2 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 - 4 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0 3 x 4 = 0 - x 4 = 0

Aqui temos que x 4 =0 e com isso obtemos que 4 x 2 = 3 x 3

Usando isso na primeira equação teremos - 2 x 1 + 6 x 2 = 0

Daqui tiramos que x 1 = 3 x 2

Vamos usar a primeira relação para montar o vetor que seria essa 4 x 2 = 3 x 3

Como vamos usar essa, precisamos multiplicar todo o vetor por 3

9 x 2 3 x 2 4 x 2 0 = x 2 9 3 4 0

O vetor é não-nulo e gera, então ele é base

Vamos para o último valor que é 2

1 - 2 2 0 - 1 - 2 3 4 3 2 0 0 0 0 3 - 2 3 0 2 - 2

Em sistema isso fica

- x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 - 3 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0 x 3 + 3 x 4 = 0 0 = 0

Da terceira equação tiramos que x 3 = - 3 x 4

Usando isso na segunda equação temos que

- 3 x 2 + 3 ( - 3 x 4 ) + 2 x 4 = 0 - 3 x 2 - 9 x 4 + 2 x 4 = 0  

- 3 x 2 = 7 x 4 x 2 = 7 x 4 3

Usando todas essas relações na primeira equação temos que

- x 1 - 14 x 4 3 - 9 x 4 + 2 x 4 = 0

Disso tiramos que

x 1 = - 29 3 x 4

Para sumir com todas frações vamos multiplicar todo vetor por 3 da seguinte forma

- 29 3 x 4 - 7 x 4 3 - 3 x 4 x 4 * 3 = - 29 x 4 - 7 x 4 - 9 x 4 3 x 4 = x 4 - 29 - 7 - 9 3

Logo o vetor também é base, pois gera e é diferente do vetor nulo então também é LI.

Ufa acabou, partiu fazer mais um?

Resposta

λ = 1 , - 1,3 , 2