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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 1e

Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:

Passo 1

Falaaaa, galerinha! Tudo bem com vocês?

Como está sendo estudar Álgebra linear? Bem de boa né? E se tiver achando difícil, relaxa que estamos aqui para te ajudar! Essa questão é bem tranquila. Primeiro, vamos atender o que ela nos pede.

Vejamos, temos que saber quais os polinômios das matrizes e com esses mesmos valores acharmos os autovalores, que chamaremos de λ , e os autovetores resultante das operações do polinômio e do autovalor. Vamos lá! 💪

e- 2 - 2 3 0 3 - 2 0 - 1 2

Se liga só, temos que fazer o λ - a diagonal principal da matriz e achar o determinante, entendeu tudo certinho?! Vamos fazer juntinhos 🥰

2 - λ - 2 3 0 3 - λ - 2 0 - 1 2 - λ 2 - λ - 2 0 3 - λ 0 - 1 = 0

2 - λ ⋅ 3 - λ ⋅ 2 - λ - 2 ⋅ ( 2 - λ ) = 0

2 - λ ⋅ 3 - λ ⋅ 2 - λ - 4 + 2 λ = 0

2 - λ ⋅ λ 2 - 5 λ + 4 = 0

De cara já sabemos um autovalor. λ 1 = 2

Agora, percebeu que temos que uma equação de segundo grau multiplicando o primeiro fator? E como resolvemos? Com uma velha amiga nossa: Bhaskara.

λ = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a

λ = - ( - 5 ) ± ( - 5 ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 4 2 ⋅ 1

λ = 5 ± 9 2

λ = 5 ± 3 2

λ 2 = 5 + 3 2

λ 2 = 4

λ 3 = 5 - 3 2

λ 3 = 1

Olha só, pessoal, essa foi bem facinho achar o λ né? Vamos conferir nossos autovalores λ 1 = 2

λ 2 = 4

λ 3 = 1

Maravilha! O λ é o nosso autovalor da matriz.

Passo 2

E agora pra acharmos os autovetores??? Relaxaaaa. Só precisamos substituir os valores de λ   na matriz. Bora lá🤙

Quando λ = 2

2 - 2 - 2 3 0 3 - 2 - 2 0 - 1 2 - 2

0 - 2 3 0 1 - 2 0 - 1 0

Quando λ = 4

2 - 4 - 2 3 0 3 - 4 - 2 0 - 1 2 - 4

- 2 - 2 3 0 - 1 - 2 0 - 1 - 2

Quando λ = 1

2 - 1 - 2 3 0 3 - 1 - 2 0 - 1 2 - 1

1 - 2 3 0 2 - 2 0 - 1 1

Resposta

λ = 2 ;   λ = 4 ;   λ = 1

Quando λ = 2 : 0 - 2 3 0 1 - 2 0 - 1 0

Quando λ = 4 : - 2 - 2 3 0 - 1 - 2 0 - 1 - 2

Quando λ = 1 : 1 - 2 3 0 2 - 2 0 - 1 1