c. {B in M_n n| A B = overset(-)(0) } .

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Queremos verificar se o conjunto W = {B in M_n n| B A = overset(-)(0) } é um espaço vetorial, para isso vamos verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de M_n n (espaço das matrizes de ordem n n ). Para isso, precisamos saber se as operações de soma e multiplicação por escalar estão bem definidas, ou seja, se (0) A , B in W , então A + B in W e (0’) se A in W e alpha in R , então alpha A in W .

Seja A , B_1 , B_2 in W quaisquer, tais que B_1 A = overset(-)(0) e B_2 A = overset(-)(0) , então (B_1 + B_2) A = B_1 A + B_2 A = overset(-)(0) + overset(-)(0) = overset(-)(0) in W .

Agora, se alpha in R e A , B in W tal que B A = overset(-)(0) então (alpha B) A = alpha (B A) = alpha (overset(-)(0)) = overset(-)(0) in W . Portanto, o conjunto W é um subespaço vetorial de M_n n .

Resposta

O conjunto {B in M_n n| A B = overset(-)(0) } é um espaço vetorial.