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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 2b

b. ( x , y , z , w ) , tais que z = x = 2 y e w = x - 3 y ;

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Queremos verificar se ( x , y , z , w ) , tais que z = x = 2 y e w = x - 3 y é um subespaço de R 4 , para isso temos que saber se as operações de soma e multiplicação por escalar estão bem definidas, ou seja, se (0) v , t ∈   W , onde W = ( 2 y , y , 2 y , - y ) , então v + t ∈ W e (0’) se v ∈ W e α ∈ R , então α v ∈ W , além de 0 - ∈   W .

Veja que se pegarmos dois vetores quaisquer, v = x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ∈ W e t = x 2 , y 2 , z 2 , w 2 ∈ W , perceba que v + t =   x 1 , y 1 , z 1 , w 1 + x 2 , y 2 , z 2 , w 2 = x 1 + x 2 ,   y 1 + y 2 ,   z 1 + z 2 ,   w 1 + w 2 = 2 y 1 + 2 y 2 ,   y 1 + y 2 ,     2 y 1 + 2 y 2 ,   x 1 - 3 y 1 + x 2 - 3 y 1 = 2 y 1 + y 2 ,   y 1 + y 2 ,   2 y 1 + y 2 ,   2 y 1 - 3 y 1 + 2 y 2 - 3 y 2 = 2 y 1 + y 2 ,   y 1 + y 2 ,   2 y 1 + y 2 ,   - ( y 1 + y 2 ) ∈   W . Desse modo, a operação soma está bem definida.

Agora, considere α ∈   R e v = x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ∈ W , implica que, α v = α x 1 , y 1 , z 1 , w 1 =   α x 1 , α y 1 , α z 1 , α w 1 =   α 2 y 1 , α y 1 , α 2 y 1 , α ( x 1 - 3 y 1 ) ∈   W .

Resposta

W = ( 2 y , y , 2 y , - y ) é um subespaço vetorial de R 4 .