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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 2b

b. ( x , y , z , w ) , tais que z = x = 2 y e w = x - 3 y ;

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Queremos verificar se ( x , y , z , w ) , tais que z = x = 2 y e w = x - 3 y é um subespaço de R^4 , para isso temos que saber se as operações de soma e multiplicação por escalar estão bem definidas, ou seja, se (0) v , t in W , onde W = ( 2 y , y , 2 y , - y ) , então v + t in W e (0’) se v in W e alpha in R , então alpha v in W , além de overset(-)(0) in W .

Veja que se pegarmos dois vetores quaisquer, v = (x_1 , y_1 , z_1 , w_1) in W e t = (x_2 , y_2 , z_2 , w_2) in W , perceba que v + t = (x_1 , y_1 , z_1 , w_1) + (x_2 , y_2 , z_2 , w_2) = (x_1 + x_2 , y_1 + y_2 , z_1 + z_2 , w_1 + w_2) = (2 y_1 + 2 y_2 , y_1 + y_2 , 2 y_1 + 2 y_2 , x_1 - 3 y_1 + x_2 - 3 y_1) = (2 (y_1 + y_2) , y_1 + y_2 , 2 (y_1 + y_2) , 2 y_1 - 3 y_1 + 2 y_2 - 3 y_2) = (2 (y_1 + y_2) , y_1 + y_2 , 2 (y_1 + y_2) , - ( y_1 + y_2 )) in W . Desse modo, a operação soma está bem definida.

Agora, considere alpha in R e v = (x_1 , y_1 , z_1 , w_1) in W , implica que, alpha v = alpha (x_1 , y_1 , z_1 , w_1) = (alpha x_1 , alpha y_1 , alpha z_1 , alpha w_1) = (alpha 2 y_1 , alpha y_1 , alpha 2 y_1 , alpha ( x_1 - 3 y_1 )) in W .

Resposta

W = ( 2 y , y , 2 y , - y ) é um subespaço vetorial de R^4 .