Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 8
a)Mostre que a matriz é invertível se, e somente se, e neste caso a inversa é dada por
b)Mostre que se , então o sistema linear
tem como solução
,
Passo 1
Oi, oi galerinha! Tudo beleza?
Para resolver essa questão precisamos chegar na fórmula para a matriz inversa, mas como fazer isso?
Vamos assumir que a inversa é dada por:
Agora, vamos aplicar:
Dessa forma, conseguimos formar o sistema abaixo:
Isolando na equação I, obtemos:
Substituindo na equação II, temos:
Pronto, agora é só aplicar esse método aos demais elementos, fazendo isso obtemos os valores abaixo.
Assim, substituindo na matriz, temos:
Da para perceber que os elementos possuem um termo em comum, o elemento no denominador.
Agora, vamos retirar o termo em comum, deixando-o em evidência. Dessa forma, a matriz fica:
Como o termo está no denominador de uma fração, seu valor precisa ser diferente de zero, pois não existe divisões por zero.
Pronto, concluída a letra A. Partiu letra B!
Passo 2
Na letra b vamos utilizar o mesmo raciocínio, sendo que agora já temos o sistema.
b)
Isolando na equação I, temos:
Agora, substituindo na equação II
Multiplicando ambos os lados da equação por
Agora, para achar o valor de vamos isolar na equação II e substituí-lo na equação I.
Esses valores para e só serão possíveis se , pois esse termo ocupa o denominador da fração. E como explicado na letra A, não se divide por zero.
Resposta
Resposta nos passos