a)Mostre que a matriz A = a b c d é invertível se, e somente se, a d - b c ≠ 0 e neste caso a inversa é dada por A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a b)Mostre que se a d - b c ≠ 0 , então o sistema linear a x + b y = g c x + d y = h tem como solução x = g d - b h a d - b c , y = a h - g c a d - b c

Enunciado

Oi, oi galerinha! Tudo beleza?

Para resolver essa questão precisamos chegar na fórmula para a matriz inversa, mas como fazer isso?

Vamos assumir que a inversa é dada por:

Agora, vamos aplicar:

Dessa forma, conseguimos formar o sistema abaixo:

Isolando na equação I, obtemos:

Substituindo na equação II, temos:

Pronto, agora é só aplicar esse método aos demais elementos, fazendo isso obtemos os valores abaixo.

Assim, substituindo na matriz, temos:

Da para perceber que os elementos possuem um termo em comum, o elemento no denominador.

Agora, vamos retirar o termo em comum, deixando-o em evidência. Dessa forma, a matriz fica:

Como o termo está no denominador de uma fração, seu valor precisa ser diferente de zero, pois não existe divisões por zero.

Pronto, concluída a letra A. Partiu letra B!

Na letra b vamos utilizar o mesmo raciocínio, sendo que agora já temos o sistema.

Isolando na equação I, temos:

Agora, substituindo na equação II

Multiplicando ambos os lados da equação por

Agora, para achar o valor de vamos isolar na equação II e substituí-lo na equação I.

Esses valores para e só serão possíveis se , pois esse termo ocupa o denominador da fração. E como explicado na letra A, não se divide por zero.

Resposta nos passos