Enunciado

Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u   =   ( 2 ,   3 ,   1 )   e   v   =   ( 1 ,   5 ,   - 3 ) .

Passo 1

Vamos começar relembrando o que significa dizer “módulo do vetor v ”:

O módulo do vetor v = ( x , y , z )   é dado por | | v | | = x 2 + y 2 + z 2

E o produto vetorial de dois vetores, você se lembra?

O produto vetorial de u = ( a , b , c )   e   v = ( x , y , z ) é dado por :

Mas, qual a razão de lembrar tudo isso? Simplesmente para podermos entender melhor a fórmula da área de um paralelogramo definido por dois vetores: A = | | u   ×   v | |

Passo 2

Agora vamos calcular o produto vetorial u   × v para   u   =   ( 2 ,   3 ,   1 )   e   v   =   ( 1 ,   5 ,   - 3 ) :

u   ×   v = ( b z - c y ) i + ( c x - a z ) j + ( a y - b x ) k

Substituindo   ( a , b , c )   =   ( 2 ,   3 ,   1 )   e   ( x , y , z )   =   ( 1 ,   5 ,   - 3 ) , temos:

u × v = ( ( - 3   .   3 ) - ( 1 .   5 ) )   i   + ( ( 1   .   1 ) - ( - 3   . 2 ) ) j   + ( ( 2   .   5 ) - ( 3   .   1 ) ) k  

u × v = - 14 i + 7 j + 7 k =   ( - 14   ,   7   ,   7 )

Passo 3

Então, temos que a área do paralelogramo será: A = | | u   ×   v | | = | | ( - 14 ,   7 ,   7 ) | |

Só falta calcularmos o módulo desse vetor!

| | ( - 14 ,   7 ,   7 ) | | = ( - 14 ) 2 + 7 2 + 7 2 = 196 + 49 + 49 = 294 = 7 6

Resposta

A = 7 6