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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 16b

Considere dois vetores V e W tais que V = 5 e W = 2 e o ângulo entre V e W é 60 ° . Determine como combinação linear de V e W x V + y W : (b):Um vetor X tal que X   x   V = 0 → e X . W = 12 .

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bem? 😊

Para resolver essa questão temos que lembrar a definição de produto interno de dois vetores:

V . W = V W c o s ⁡ ( α )

Substituindo pelos valores dados no enunciado, temos:

V . W = 5.2 . 1 2 = 5

Passo 2

Queremos achar um vetor X , tal que X =   x V + y W e sabemos que X   x   V = 0 e X . W = 12 .

Logo:

X . W = 12

Substituindo X por x V + y W :

< x V + y W , W >   = 12

Como W . W = W 2 :

x V . W + y W . W = 12

5 x + 4 y = 12 ( i )

Passo 3

Como X   x   V = 0 , temos que X = α V . Logo:

X . V = α V V

< x V + y W , V >   = 25 α

x V . V + y V . W = 25 α

25 x + 5 y = 25 α ÷ 5

5 x + y = 5 α ( i i )

Passo 4

Chegamos então a um sistema linear com i e i i :

5 x + 4 y = 12 5 x + y = 5 α

Resolvendo o sistema linear:

L 1 - L 2 → L 2

3 y = 12 - 5 α → y = 12 - 5 α 3

Consequentemente:

5 x + 12 - 5 α 3 = 5 α

x = 10 α - 12 15  

Portanto:

X = 10 α - 12 15 V + 12 - 5 α 3 W

Resposta

X = 10 α - 12 15 V + 12 - 5 α 3 W