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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 16a

Considere dois vetores V e W tais que V = 5 e W = 2 e o ângulo entre V e W é 60 ° . Determine como combinação linear de V e W x V + y W : (a):Um vetor X tal que X . V = 20 e X . W = 5 .

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bem? 😊

Para resolver essa questão temos que lembrar a definição de produto interno de dois vetores:

V . W = V W c o s ⁡ ( α )

Substituindo pelos valores dados no enunciado, temos:

V . W = 5.2 . 1 2 = 5

Passo 2

Queremos achar um vetor X , tal que X =   x V + y W e sabemos que X . V = 20 e X . W = 5 .

Logo:

X . V = 20

Substituindo X por x V + y W :

< x V + y W , V > = 20

Como V . V = V 2 :

x V . V + y V . W = 20

25 x + 5 y = 20 ( ÷ 5 )

5 x + y = 4 ( i )

Passo 3

Analogamente, faremos o mesmo processo para X . W :

X . W = 5

< x V + y W , W >   = 5

x V . W + y W . W = 5

5 x + 4 y = 5   ( i i )

Passo 4

Chegamos então a um sistema linear com i e i i :

5 x + y = 4 5 x + 4 y = 5

Resolvendo o sistema linear:

L 1 - L 2 → L 2

- 3 y = - 1 → y = 1 3

Consequentemente:

5 x + 1 3 = 4

x = 11 15  

Portanto:

X = 11 15 V + 1 3 W

Resposta

X = 11 15 V + 1 3 W