Considere T : Mm×n → Mn×m definida por T ( A )   =   A T . Determine:

(a) Nuc(T);

(b) Im(T);

(c) se T é injetiva;

(d) se T é sobrejetiva.

Passo 1

Ah essa questão danada, hein!

Uma boa forma de arrasar aqui é ter a sagacidade de analisar uma matriz transposta qualquer M m x n definida por T ( A )   =   A T . Aí fica fácil, se considerarmos o núcleo de T é um conjunto zerado, Nuc(T)=0, e substituirmos na fórmula do Teorema do Núcleo e da Imagem, então:

d i m d i m   N u c T   + d i m d i m   I m T   = n

Ou seja, a dimensão de imagem assume os valores da coluna da matriz, porém, como temos uma matriz A transposta, então assumimos que a I m T = M n x n

Passo 2

A partir dessas informações fica bem mais fácil fazer análises sobre a matriz, saca só!

A gente já sabe que o núcleo Nuc(T)=0, ou seja, essa é a condição para que A seja injetiva

Se T é sobrejetiva, então Im(T) = V . Como dim Im(T) = dim V , pelo TNI dim Nuc(T) = dim V − dim Im(T) = 0. Portanto o Nuc(T) = 0 e T é injetiva e apenas isso, mas de acordo com o Teorema do Núcleo e da Imagem se a Im(T) é a própria matriz, então podemos caracterizar T como sobrejetiva.

Resposta

a) Nuc(T)=0 ; b) I m T = M n x n ; c) injetiva ; d) sobrejetiva