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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2 - Ex. 13c

Considere o polinômio p λ = det ⁡ A - λ I 2 ,   em que A =   a b / 2 b / 2 c . c)Sejam a’ e c’ raízes distintas de p λ . Mostre que se X 1 é solução de A - a ' I 2 X = 0 → e X 2 é solução de A - c ' I 2 X = 0 → , então X 1   e   X 2 são ortogonais.(Sugestão: Mostre que a ' X 1 X 2 = c ' X 1 X 2

Passo 1

Fala aeee, tudo blz? 😊

Se a ' X 1 X 2 = c ' X 1 X 2 , então X 1   e   X 2 são ortogonais.

Como X 1 é solução de A - a ' I 2 X = 0 → essa equação pode ser escrita assim:

A X 1 = a ' I 2 X 1 ( e q u a ç ã o   1 )

O mesmo vale para X 2 :

A X 2 = c ' I 2 X 2 ( e q u a ç ã o   2 )

Passo 2

Multiplicando a equação 1 por X 2 , temos:

A X 1 . X 2 = a ' I 2 X 1 . X 2

Substituindo pelo valor da equação 2:

X 1 c ' I 2 X 2 = a ' I 2 X 1 . X 2  

Portanto:

a ' X 1 X 2 = c ' X 1 X 2

X 1   e   X 2 são ortogonais

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o