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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.6 - Ex. 142

É dada a reta a   { x - 1   = y - 2 = z - 1 . Determine os pontos da reta a cuja distância ao ponto X   =   ( 1,3 , 1 ) seja 3 .

Passo 1

Tudo bem, gente? Animados para mais uma questão? Então, vem comigo!

Vamos começar escrevendo as equações paramétricas da reta

x - 1   = y - 2 = z - 1 = t

⇒ x = 1 + t ,   y = t + 2 ,   z = 1 + t

Assim, qualquer ponto dessa reta pode ser escrito na forma P = ( 1 + t , t + 2,1 + t ) .

Passo 2

A distância entre dois pontos é dada pelo módulo do vetor ligando esses pontos. Então vamos calcular esse vetor

X P → = P - X = ( 1 + t , t + 2,1 + t ) -   ( 1,3 , 1 )   = ( t , t - 1 , t )

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor e igualar a 3 :

| X P → | = t 2 + ( t - 1 ) 2 + t 2 = 3

⇒ t 2 + t 2 - 2 t + 1 + t 2 = 3

⇒ 3 t 2 - 2 t + 1 = 3

⇒ 3 t 2 - 2 t + 1 = 9 ⇒ 3 t 2 - 2 t - 8 = 0

t = 2 ± 4 + 4 ⋅ 3 ⋅ 8 6 = 2 ± 100 6 = 2 ± 10 6

⇒ t = 2 ,   t = - 4 3

Esses valores de t correspondem aos pontos

t = 2 : ( 1 + t , t + 2,1 + t ) = ( 3,4 , 3 )  

t = - 4 3 : ( 1 + t , t + 2,1 + t ) = ( - 1 3 , 2 3 , - 1 3 )  

Resposta

t = 2 : ( 1 + t , t + 2,1 + t ) = ( 3,4 , 3 )  

t = - 4 3 : ( 1 + t , t + 2,1 + t ) = ( - 1 3 , 2 3 , - 1 3 )