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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 20

Dados u → = - x - 1,2 , 1 , v → = - 3 , x , 1   e   w → = x - 4,0 , 1 , determine x para que os vetores u → ,   v →   e   w → sejam coplanares e dois a dois não paralelos. Para esse valor de x , escreva w → como combinação linear de u → e v → .

Passo 1

Fala aee, pessoal! Tudo bem?

Para que u → ,   v →   e   w → sejam coplanares precisamos garantir que:

d e t - x - 1 2 1 - 3 x 1 x - 4 0 1 = 0

x - x - 1 + 2 x - 4 - x x - 4 - 6 = 0

Portanto:

- 2 x 2 + 5 x - 2 = 0

x 1 = 1 2   e   x 2 = 2 .

Passo 2

Se x = 2 ,   teremos:

u → = - 3 , 2,1 , v → = - 3 , 2 , 1   e   w → = - 2 , 0,1

u → ∥ v →

Logo,

x = 1 2

u → = - 3 2 , 2,1 , v → = - 3 , 1 2 , 1   e   w → = - 7 2 , 0,1

Passo 3

Assim, w → será:

w → = a u → + b v →

- 7 2 , 0,1 = a - 3 2 , 2,1 + b - 3 , 1 2 , 1

- 3 2 a - 3 b = - 7 2 2 a + b 2 = 0 a + b = 1

Resolvendo o sistema linear:

L 3 : a = 1 - b

L 2 : 2 1 - b + b 2 = 0 → b = 4 3

a = - 1 3

Concluímos que:

w → = - 1 3 u → + 4 3 v →

Resposta

w → = - 1 3 u → + 4 3 v →