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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.4 - Ex. 109

Dados: | u → |   = 2 , | v → |   = 3 , ∠   ( u → ,   v → )   = 30 ° , A B → = 2 u → + v → e A C → = u →   - v → , determine:

  1. o ângulo entre A B → e A C → ;
  1. a área do triângulo A B C ;
  2. a altura relativa ao vértice B , do triângulo A B C .

Passo 1

  1. Para descobrir o ângulo entre A B → e A C → , primeiro temos que calcular o produto interno entre eles e o módulo de cada vetor:

    2. A B → ⋅ A C → = (   2 u →   +   v → ) ⋅ ( u →   - v → ) =   2 u → ⋅ ( u →   - v → ) +   v → ⋅ ( u →   - v → )

    A B → ⋅ A C → =   2 u → ⋅ u →   -   2 u → ⋅ v → +   v → ⋅ u →   -   v → ⋅ v → =   2 | u → | 2   - u → ⋅ v → - |   v → | 2

    | A B → | 2 = A B → ⋅ A B → = (   2 u →   +   v → ) ⋅ (   2 u →   +   v → ) =   2 u → ⋅ (   2 u →   +   v → ) +   v → ⋅ (   2 u →   +   v → )

    | A B → | 2 = 4 u → ⋅ u →   + 2 u → ⋅   v → + 2   v → ⋅ u →   +   v → ⋅   v → =   4 | u → | 2   + 4 u → ⋅ v → + |   v → | 2

    | A B → | 2 = A B → ⋅ A B → = ( u →   - v → ) ⋅ ( u →   - v → ) =   u → ⋅ ( u →   - v → ) -   v → ⋅ ( u →   - v → )

    | A C → | 2 = u → ⋅   u →   - u → ⋅   v → -   v → ⋅ u →   +   v → ⋅   v → =   | u → | 2   - 2 u → ⋅ v → + |   v → | 2

    Como ∠   ( u → ,   v → )   = 30 ° e | u → |   = 2 , | v → |   = 3 , então

    3 2 = c o s 30 ° = c o s     ∠   ( u → ,   v → )   = u → ⋅ v → | u → | | v → |

    ⇒ u → ⋅ v → = 3 2 | u → | | v → | = 3 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 3

    ⇒ u → ⋅ v → =   3

    Assim, ficamos com

    A B → ⋅ A C → =   2 | u → | 2   - u → ⋅ v → - |   v → | 2 = 2 ⋅ 4 - 3 - 3 = 2

    | A B → | 2 =   4 | u → | 2   + 4 u → ⋅ v → + |   v → | 2 = 4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 + 3 = 31 ⇒ | A B → | = 31

    | A C → | 2 =   | u → | 2   - 2 u → ⋅ v → + |   v → | 2 = 4 - 6 + 3 = 1 ⇒ | A C → | = 1

    Com todas essas informações, podemos calcular o cosseno do ângulo entre A B → e A C → :

    c o s θ = A B → ⋅ A C → | A B → | | A C → | = 2 31   ⇒   θ   =   a r c c o s 2 31

    Passo 2

  2. Para calcular a área do triângulo A B C , precisamos de A B → ∧ A C → :

    3. A B → ∧ A C → = (   2 u →   +   v → ) ∧ ( u →   - v → ) = 2 u → ∧ ( u →   - v → ) +   v → ∧ ( u →   - v → )

    A B → ∧ A C → = 2 u → ∧ u →   - 2 u → ∧ v → +   v → ∧ u →   -   v → ∧ v →

    A B → ∧ A C → = 2 ⋅ 0 →   + 2 v → ∧ u → +   v → ∧ u →   - 0 →

    A B → ∧ A C → = 3 v → ∧ u →    

    A B → ∧ A C → = 3   | v → | | u → | s e n   θ

    Então, podemos notar que

    | A B → ∧ A C → | 2 = 9 | u → | 2 | v → | 2 s e n 2   θ = 9 | u → | 2 | v → | 2 ( s e n   30 ° ) 2 = 9 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 1 4 = 27

    | A B → ∧ A C | → = 27

    A área é metade desse valor:

    A = 1 2 | A B → ∧ A C | →   =   27 2

    Passo 3

  3. A altura relativa ao vértice B , vamos chamar de h , quando multiplicada por | A C → | e dividida por 2 nos dá a área do triângulo

A = 1 2 h   | A C → | ⇒ h = 2 A   | A C → |

Já calculamos a área no item anterior, então só precisamos de | A C → | , que foi calculado no item a): | A C → | = 1 . Assim, temos

h = 2 A   | A C → | = 2 27 2 ⋅ 1 = 27

Resposta

  1. a r c c o s 2 31 ;
  2. 27 2 ;
  3. 27 .