Decomponha o polinômio x 4 - 4     d e   k [ x ] em fatores irredutíveis nos seguintes casos:

a )   k = Q

b )   k = R

c )   k = C

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi ele deseja decompor o polinômio x 4 - 4     d e   k [ x ] em fatores irredutíveis nos seguintes casos:

a )   k = Q

b )   k = R

c )   k = C

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha para essa questão temos que determinar os fatores irredutíveis com,

x 4 - 4     d e   k [ x ]

Ficando para letra (a) temos,

k = Q → x 4 - 4 ∈ k [ x ]

Que fatorando fica,

f x = ( x 2 + 2 ) ( x 2 - 2 )

Logo,

x 4 - 2 x 2 + 2 x 2 - 4 → x 4 - 4

Ficando,

Q x ,   f x = ( x 2 + 2 ) ( x 2 - 2 )

Já na letra (b) para,

k = R → x 4 - 4 ∈ R

Ficando sua decomposição,

( x 2 + 2 ) ( x + 2   ) ( x - 2   )

Logo,

x 2 + 2 x 2 - 2   x + 2 x - 2 → ( x 2 + 2 ) ( x 2 - 2 )

Chegando em,

R x ,   f = ( x 2 + 2 ) ( x + 2   ) ( x - 2   )

E por fim na letra ( c ) para,

k = C

Temos,

x 4 - 4 ∈ C   c o m     i + j

Sendo sua decomposição,

x + i 2   x - i 2   x + 2 x - 2   → ( x 2 - 4 )

Logo,

C x , f = x + i 2   x - i 2   x + 2 x - 2  

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) Q x ,   f x = ( x 2 + 2 ) ( x 2 - 2 )

b) R x ,   f = ( x 2 + 2 ) ( x + 2   ) ( x - 2   )

c) C x . f = x + i 2   x - i 2   x + 2 x - 2