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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.3 - Ex. 72

Decomponha u →   = ( 2,1 , 2 ) em uma soma de dois vetores x → e y → , sabendo que x → é paralelo ao vetor ( 1,0 , 2 ) e y → é ortogonal ao vetor k →   =   ( 0,0 , 1 ) .

Passo 1

Fala, pessoal! Nessa questão, vamos seguir o seguinte raciocínio: vamos dizer que o vetor paralelo a ( 1,0 , 2 ) é múltiplo dele, calcular o produto interno de y → e k →   =   ( 0,0 , 1 ) (isso deve eliminar uma das incógnitas) e depois comparar a soma de x → e y → com u →   = ( 2,1 , 2 ) . Vamos lá, então?

x → é paralelo ao vetor ( 1,0 , 2 ) , então x → = m ( 1,0 , 2 ) . y → = ( a , b , c ) é ortogonal ao vetor k →   =   ( 0,0 , 1 ) , de modo que, devemos ter

y → ⋅ k → = 0 ⇒ ( a , b , c ) ⋅ ( 0,0 , 1 ) = 0 ⇒ c = 0

Passo 2

Beleza, até o momento temos x → = m ( 1,0 , 2 ) e y → = ( a , b , 0 ) . Então

u → = x → + y → ⇒ ( 2,1 , 2 ) = m ( 1,0 , 2 ) + ( a , b , 0 ) = ( m + a , b , 2 m )

A partir da equação acima, podemos notar que

m + a = 2

b = 1

2 m = 2 ⇒ m = 1

Só precisamos substituir m = 1 na primeira equação:

m + a = 2 ⇒ 1 + a = 2 ⇒ a = 1

Pronto, pessoal! Conseguimos! O vetor u → pode ser decomposto em uma soma de dois vetores da seguinte forma:

u → = m ( 1,0 , 2 ) + ( a , b , 0 ) = ( 1,0 , 2 ) + ( 1,1 , 0 )

onde x → = ( 1,0 , 2 ) e y → = ( 1,1 , 0 ) .

Resposta

u → = ( 1,0 , 2 ) + ( 1,1 , 0 ) , x → = ( 1,0 , 2 ) e y → = ( 1,1 , 0 )