Demonstre que o conjunto dos números primos positivos é infinito.
A primeira demonstração conhecida desse resultado, aliás a mesma que esboçaremos a seguir, foi dada por Euclides em seus Elementos.
Esboço da demonstração: Suponha que esse conjunto fosse finito: digamos que seus elementos fossem . Construa o número . Esse número não é nenhum dos , (por que?). Logo, é composto (Por que?). Então é divisível por um dos , (1 ≤ i ≤ n)(por que?). Segue, então, que p|1 (por que?). Esse absurdo (por que?) garante a infinitude do conjunto dos primos.
Passo 1
Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!
Precisamos usar o absurdo para entender essa.
Se nós supormos por absurdo que fossem todos primos, o número não seria divisível por nenhum primo.
Essa afirmação é absurda, porque o teorema fundamental da aritmética diz que todos os inteiros positivos maiores que 1 possuem uma decomposição única em fatores primos, dessa forma, se o número p não pode ser decomposto em fatores primos, então o conjunto de números primos é infinito
Passo 2
Vamos utilizar um exemplo numérico para entender isso, utilizando o conjunto {2, 3, 5, 7, 11}
O número p será então:
O número 2311 é um número primo maior que o ultimo primo conhecido no conjunto inicial, isto é, 11, então o conjunto pode ser continuado.
Resposta
Demonstração