Demonstre que o conjunto dos números primos positivos é infinito.

A primeira demonstração conhecida desse resultado, aliás a mesma que esboçaremos a seguir, foi dada por Euclides em seus Elementos.

Esboço da demonstração: Suponha que esse conjunto fosse finito: digamos que seus elementos fossem p 1 ,   p 2 ,   . . . ,   p n . Construa o número p   =   p 1 p 2 . . . p n   +   1 . Esse número não é nenhum dos p i , (por que?). Logo, é composto (Por que?). Então é divisível por um dos p i , (1 ≤ i ≤ n)(por que?). Segue, então, que p|1 (por que?). Esse absurdo (por que?) garante a infinitude do conjunto dos primos.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Precisamos usar o absurdo para entender essa.

Se nós supormos por absurdo que p 1 ,   p 2 ,   . . . ,   p n fossem todos primos, o número p   =   p 1 p 2 . . . p n   +   1 não seria divisível por nenhum primo.

Essa afirmação é absurda, porque o teorema fundamental da aritmética diz que todos os inteiros positivos maiores que 1 possuem uma decomposição única em fatores primos, dessa forma, se o número p não pode ser decomposto em fatores primos, então o conjunto de números primos é infinito

Passo 2

Vamos utilizar um exemplo numérico para entender isso, utilizando o conjunto {2, 3, 5, 7, 11}

O número p será então:

p = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 + 1 = 2311

O número 2311 é um número primo maior que o ultimo primo conhecido no conjunto inicial, isto é, 11, então o conjunto pode ser continuado.

Resposta

Demonstração