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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.3 - Ex. 83

Demonstre a relação de Euler: Quaisquer que sejam os pontos A , B , C e D , A B → ⋅ C D → + B C → ⋅ A D → + C A → ⋅ B D → = 0 . Como consequência, prove: Em um tetraedro, se A B → é ortogonal a C D → e A C → é ortogonal a B D → , então A D → é ortogonal a B C → .

Passo 1

Para demonstrar a relação de Euler, precisamos escrever todos os vetores em termos de apenas três vetores. Para isso, vamos escolher A B , → B C → e B D → . Então

C D → = C B → + B D → = - B C → + B D →

A D → = A B → + B D →

C A → = C B → + B A → = - B C → - A B →

Ok, agora vamos substituir isso nos seguintes produtos internos e depois somar tudo:

A B → ⋅ C D → = A B → ⋅ ( - B C → + B D → ) = - A B → ⋅ B C → + A B → ⋅ B D →

B C → ⋅ A D → = B C → ⋅ ( A B → + B D → ) = B C → ⋅ A B → + B C → ⋅ B D → = A B → ⋅ B C → + B C → ⋅ B D →

C A → ⋅ B D → = - ( B C → + A B → ) ⋅ B D → = - B C → ⋅ B D → - A B → ⋅ B D →

Agora somando tudo:

A B → ⋅ C D → + B C → ⋅ A D → + C A → ⋅ B D → = - A B → ⋅ B C → + A B → ⋅ B D → + A B → ⋅ B C → + B C → ⋅ B D → - B C → ⋅ B D → - A B → ⋅ B D →

A B → ⋅ C D → + B C → ⋅ A D → + C A → ⋅ B D → = 0

Passo 2

Vamos analisar as duas hipóteses: A B → é ortogonal a C D → e A C → é ortogonal a B D → . Então,

A B → ⋅ C D → = A C → ⋅ B D → = 0

Então, a relação de Euler se torna:

A B → ⋅ C D → + B C → ⋅ A D → - A C → ⋅ B D → = 0 ⇒ 0 + B C → ⋅ A D → - 0 = 0 ⇒ B C → ⋅ A D → = 0

Então, A D → é ortogonal a B C → .

Resposta

Veja a resolução acima.