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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.3 - Ex. 90

Demonstre, usando produto escalar, que três vetores não nulos, dois a dois ortogonais, são l.i. (Sugestão: a → , b → e c → são dois a dois ortogonais, considere a igualdade α a → + β b → + γ c → = 0 → ; multiplique essa igualdade, escalarmente, por a → , depois por b → …)

Passo 1

E aí, gente? Vamos seguir exatamente a sugestão do livro e assumir que a igualdade α a → + β b → + γ c → = 0 → é verdadeira e que a → , b → e c → são dois a dois ortogonais. Então, vamos multiplicar α a → + β b → + γ c → = 0 → escalarmente por a → , b → e c → :

α a → ⋅ a → + β b → ⋅ a → + γ c → ⋅ a → = 0 ⇒ α a → ⋅ a → = 0 ⇒ α = 0

α a → ⋅ b → + β b → ⋅ b → + γ c → ⋅ b → = 0 → ⇒ β b → ⋅ b → = 0 ⇒ β = 0

α a → ⋅   c → + β b → ⋅   c → + γ c → ⋅   c → = 0 → ⇒ γ c → ⋅   c → = 0 ⇒ γ = 0

Assim, vemos que a igualdade α a → + β b → + γ c → = 0 → só pode ser satisfeita se α = 0 ,   β = 0 e γ = 0 . Isso prova que a → , b → e c → são l.i.

Resposta

Veja a resolução acima.