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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 10

Determine uma equação de cada um dos planos tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 6 z + 5 = 0 nos pontos A e B da mesma, sendo A B uma corda contida na reta x - 1 - 1 = y - 2 2 = z 3 .

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo na paz? 😊

Para acharmos as equações desses planos tangentes, precisamos da equação da esfera no seu formato reduzido. Portanto, completando quadrados:

E : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 6 z + 5 = 0

E : x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = 9  

Passo 2

Como A B é uma corda contida na reta dada, temos que a interseção da reta com a esfera nos dá os pontos A e B .

r : x = 1 - t y = 2 + 2 t z = 3 t ;   t   ∈ R

r ∩ E = A , B

1 - t - 1 2 + 2 + 2 t - 2 2 + 3 t - 3 2 = 9

t 2 + 4 t 2 + 9 t 2 - 18 t + 9 = 9

14 t 2 - 18 t = 0

t 14 t - 18 = 0

Portanto:

t = 0   o u   t = 9 7

Passo 3

Para t = 0 , temos:

A = ( 1,2 , 0 )

Para t = 9 7 , temos:

B = ( - 2 7 , 32 7 , 27 7 )

Passo 4

Os vetores perpendiculares aos planos tangentes são dados por:

A C → = ( 0,0 , 3 )

B C → = ( 9 7 , - 18 7 , - 6 7 )

Sendo C = ( 1,2 , 3 ) o centro da superfície esférica.

Logo, os planos tangentes são:

π 1 : 3 z + d = 0

π 2 : 1 7 ( 9 x - 18 y - 6 z ) + d = 0

Substituindo A = ( 1,2 , 0 ) em π 1 :

3 0 + d = 0

d = 0

Portanto:

π 1 : z = 0

Substituindo B = - 2 7 , 32 7 , 27 7 em π 2 :

1 7 ( 9 ( - 2 7 ) - 18 ( 32 7 ) - 6 ( 27 7 ) + d = 0

d = 756 49

Portanto:

π 2 : 9 x - 18 y - 6 z 7 + 756 49 = 0

π 2 : 63 x - 126 y - 42 z + 756 = 0 ( ÷ 21 )

π 2 : 3 x - 6 y - 2 z + 36 = 0

Resposta

π 1 : z = 0

π 2 : 3 x - 6 y - 2 z + 36 = 0