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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 17

Determine uma equação da superfície esférica que passa pelo ponto A = ( - 1,2 , 1 ) e tangencia o plano x - y + z - 2 = 0 no ponto T = - 1 , 0 , 3 .

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo na paz? 😊

Para acharmos a equação dessa superfície esférica, precisamos encontrar as coordenadas do seu centro C e o tamanho do seu raio R .

E : x - a 2 + y - b 2 + z - c 2 = R 2  

Passo 2

O plano que tangencia a esfera tem seu vetor normal igual a:

n → = ( 1 , - 1 , 1 )

n → é o vetor diretor da reta r que passa pelos pontos T e C (centro da esfera).Portanto:

r : x = - 1 + t y = - t z = 3 + t ; t ∈ R

C é um ponto que pertence a essa reta, logo:

C = ( - 1 + t , - t , 3 + t )

Passo 3

A distância de C até T é igual a distância de C a A . Assim:

d C , T = d C , A

- 1 + t + 1 2 + - t 2 + 3 + t - 3 2 = - 1 + t + 1 2 + - t - 2 2 + 3 + t - 1 2

t 2 + t 2 + t 2 = t 2 + t 2 + 4 t + 4 + 4 + 4 t + t 2

8 t + 8 = 0

t = - 1

Portanto:

C = ( - 2,1 , 2 )

Passo 4

A distância entre T e C é o raio.

d T , C 2 = R 2

R 2 = - 1 + 2 2 + - 1 2 + 3 - 2 2

R 2 = 3

Concluímos que a equação da esfera é:

E : x + 2 2 + y - 1 2 + z - 2 2 = 3

Resposta

E : x + 2 2 + y - 1 2 + z - 2 2 = 3