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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 16

Determine uma equação da superfície esférica tangente ao plano x + y + z - 1 = 0 no ponto T = 1,1 , - 1 , sabendo que o seu centro está no plano 3 x - y - z + 3 = 0 .

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo na paz? 😊

Para acharmos a equação dessa superfície esférica, precisamos encontrar as coordenadas do seu centro C e o tamanho do seu raio R .

E : x - a 2 + y - b 2 + z - c 2 = R 2  

Passo 2

O plano que tangencia a esfera tem seu vetor normal igual a:

n → = ( 1 , 1 , 1 )

n → é o vetor diretor da reta r que passa pelos pontos T e C (centro da esfera).Portanto:

r : x = 1 + t y = 1 + t z = - 1 + t ; t ∈ R

Passo 3

A interseção de r com o plano 3 x - y - z + 3 = 0 é o ponto C . Logo:

3 1 + t - 1 + t - - 1 + t + 3 = 0

t + 6 = 0

t = - 6

Assim:

C = ( - 5 , - 5 , - 7 )

Passo 4

A distância entre T e C é o raio.

d T , C 2 = R 2

R 2 = 1 + 5 2 + 1 + 5 2 + - 1 + 7 2

R 2 = 108

Concluímos que a equação da esfera é:

E : x + 5 2 + y + 5 2 + z + 7 2 = 108

Resposta

E : x + 5 2 + y + 5 2 + z + 7 2 = 108