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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.8 - Ex. 197

Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta

y = x   - 4

⎨ z = 2 x   - 6 e é tangente aos planos coordenados x O y e y O z .

Passo 1

E aí pessoal, podemos começar essa questão buscando a localização do centro da superfície esférica C = ( l , m , n ) . Para isso, utilizaremos a informação que o centro está na reta, ou seja:

m = l - 4

    n = 2 l - 6

A outra informação que podemos utilizar é a da distância entre um plano do tipo a x + b y + c z + d = 0 e o centro da esfera é dada por:

d ( C , π ) = | a ⋅ l + b ⋅ m + c n + d | a 2 + b 2 + c 2

Além disso, os planos x O y e y O z são tangentes à superfície da esfera. Então, como esses planos x O y e y O z são dados por x O y :   z = 0 ,   x ≥ 0 , y ≥ 0   e y O z :   x = 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 , e a distância do centro até eles tem que ser igual ao raio da esfera, temos

d ( C , x O y ) = d ( C , y O z )

⇒ | 0 ⋅ l + 0 ⋅ m + 1 ⋅ n + 0 | 0 + 0 + 1   =   | 1 ⋅ l + 0 ⋅ m + 0 ⋅ n + 0 | 1 + 0 + 0

⇒ | n |   =   | l |

⇒ | 2 l - 6 |   =   | l |

⇒ l = 2 l - 6   o u   l = 6 - 2 l

Passo 2

No primeiro caso, temos l = 6 e, no segundo, temos l = 2 . Então, no primeiro caso temos

m = l - 4 = 2

    n = 2 l - 6 = 6

Além disso, o raio da esfera é exatamente igual a distância do centro até um dos planos tangentes. Então,

r = d ( C , x O y ) = | n | = 6

e a equação da esfera fica dada por ( x - 6 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 6 ) 2 = 36 .

No segundo caso, temos

m = l - 4 = - 2

    n = 2 l - 6 = - 2

r = d ( C , x O y ) = | n | = 2

e a equação da esfera fica dada por ( x - 2 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = 4 .

Resposta

( x - 2 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = 4   o u   ( x - 6 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 6 ) 2 = 36 .