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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.8 - Ex. 195

  1. Determine equações paramétricas da reta t , perpendicular ao plano π :   3 x - 4 y + 2 z - 9 = 0 e que contém um diâmetro da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 10 z - 90 = 0 .
  2. Determine também as extremidades desse diâmetro.

Passo 1

  1. Galera, essa parece difícil, mas confia que sai. Primeiro, vamos manipular a equação da superfície esférica dada na questão

    2. x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 10 z - 90 = 0

    ⇒ x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 + z 2 + 10 z + 25 - 25 = 90

    ⇒ ( x - 1 ) 2 - 1 + y 2 + ( z + 5 ) 2 - 25 = 90

    ⇒ ( x - 1 ) 2 + y 2 + ( z + 5 ) 2 = 116

    com isso descobrimos que o centro da esfera é C = ( 1,0 , - 5 ) e o raio é r = 116 .

    Agora vamos utilizar a condição de perpendicularidade entre a reta e o plano. Isso quer dizer que o vetor diretor da reta será no mesmo sentido do vetor normal do plano. Ou seja:

    π :   3 x - 4 y + 2 z - 9 = 0   ⇒ n →   =   ( 3 , - 4,2 )

    a partir do vetor normal n →   =   ( 3 , - 4,2 ) , temos que o vetor diretor da reta será v →   =   n →   =   ( 3 , - 4,2 ) . Daí, temos que

    T =   ( x 0 + 3 λ ,   y 0 - 4 λ ,   z 0 + 2 λ )

    Agora precisamos determinar as coordenadas do ponto inicial dessa reta. Para isso, vamos assumir que essa reta tenha origem no centro da superfície esférica. Assim, para λ = 0 estamos em sua origem. Para λ > 0 ou λ < 0 mudamos apenas o sentido dessa reta. Logo,

    t { x = 1 + 3 λ ,   y = - 4 λ , z = - 5 + 2 λ

    Passo 2

  2. Essa parte é mais tranquila. Basta substituir as coordenadas da reta do item a) na equação da superfície esférica e descobrir para quais valores de λ ocorre a interseção.

( 1 + 3 λ - 1 ) 2 + ( - 4 λ ) 2 + ( - 5 + 2 λ + 5 ) 2 = 116

⇒ ( 3 λ ) 2 + 16 λ 2 + ( 2 λ ) 2 = 116

⇒ 9 λ 2 + 16 λ 2 + 4 λ 2 = 116

⇒ 29 λ 2 = 4 ⋅ 29

⇒ λ = - 2   o u   λ = 2

Ou seja, para λ = - 2 :

( 1 + 3 λ , - 4 λ , - 5 + 2 λ ) = ( - 5,8 , - 9 )

e em λ = 2 :

( 1 + 3 λ , - 4 λ , - 5 + 2 λ ) = ( 7 , - 8 , - 1 )

Resposta

  1. t { x = 1 + 3 λ ,   y = - 4 λ , z = - 5 + 2 λ
  2. ( - 5,8 , - 9 ) e ( 7 , - 8 , - 1 ) .