Determine se é verdadeiro ou falso em cada uma das seguintes afirmativas sobre TLs:

a) T: R 5 R 4 pode ser injetiva

b) T: R 3 R 5 com dim(Im(T))=3 é injetiva

c) Se T: R n R m satisfaz T(0) = 0, então T é linear

d) Se T é injetiva, então não existe w≠0 tal que T(w)=0

e) se T: V → V possui inversa, então dim(Nuc(T)) = dim(V).

Passo 1

Saca só essa questão! De cada assusta pois tem muitas letras, mas você vai vê que é moleza moleza!

a) Para que T seja injetiva a dimensão do núcleo deve ser igual a 0, então vamos analisar. Percebe que o contradomínio R 4 tem dimensão 4, logo a imagem tem no máximo dimensão 4 e pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, temos que:

dim(Nuc(T)) = dim( R 5 ) – dim(Im( R 4 )) → dim(Nuc(T)) = 5-4 = 1

Portanto, como a dimensão do núcleo de T não é zerada, essa afirmativa é falsa!

Passo 2

b) Sabendo que dim(Im(T))=3 e dim( R 3 )=3 a função T é injetiva, ou seja, tem a dimensão do núcleo zerada? Basta aplicar no Teorema do Núcleo e da Imagem, assim:

dim(Nuc(T)) = dim( R 3 ) – dim(Im(T)) → dim(Nuc(T)) = 3-3 = 0

Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

c) para verificar a linearidade de T, deve ser verdadeira a equação:

T(0) = T (-0+0) = 0

Até aqui beleza, mas a gente já pode afirmar que T é linear? Nãoooo, percebe que até existem funções que satisfazem isto mas não lineares, por exemplo, se T: R 3 R 2 definida por T(x,y,z)=(z, xy), teríamos que:

T(1,1,1) = (1 , 1*1) = (1 , 1)

T(2,2,2) = (2 , 2*2) = (2 , 4)

Como os valores obtidos para T são diferentes, podemos afirmar que não necessariamente T é linear.

Passo 4

d) Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, se T é injetiva o seu núcleo obrigatoriamente é zerado, logo é impossível que w tenha dimensão diferente de 0. Portanto, a afirmativa é verdadeira.

Passo 5

e) a forma mais rápida de resolver a letra E é letrar do conceito básico do Teorema do Núcleo e da Imagem, se uma função possui inversa, ela é injetiva, portanto, a dimensão do seu núcleo é ZEROOO. Assim, dim(Nuc(T)) = 0 , logo é falso que dim(Nuc(T)) = dim(V).

Resposta

a) falso ; b) verdadeiro ; c) falso ; d) verdadeiro ; e) falso