Determine se é verdadeiro ou falso em cada uma das seguintes afirmativas sobre TLs:
a) T: → pode ser injetiva
b) T: → com dim(Im(T))=3 é injetiva
c) Se T: → satisfaz T(0) = 0, então T é linear
d) Se T é injetiva, então não existe w≠0 tal que T(w)=0
e) se T: V → V possui inversa, então dim(Nuc(T)) = dim(V).
Passo 1
Saca só essa questão! De cada assusta pois tem muitas letras, mas você vai vê que é moleza moleza!
a) Para que T seja injetiva a dimensão do núcleo deve ser igual a 0, então vamos analisar. Percebe que o contradomínio tem dimensão 4, logo a imagem tem no máximo dimensão 4 e pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, temos que:
dim(Nuc(T)) = dim() – dim(Im()) → dim(Nuc(T)) = 5-4 = 1
Portanto, como a dimensão do núcleo de T não é zerada, essa afirmativa é falsa!
Passo 2
b) Sabendo que dim(Im(T))=3 e dim()=3 a função T é injetiva, ou seja, tem a dimensão do núcleo zerada? Basta aplicar no Teorema do Núcleo e da Imagem, assim:
dim(Nuc(T)) = dim() – dim(Im(T)) → dim(Nuc(T)) = 3-3 = 0
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
c) para verificar a linearidade de T, deve ser verdadeira a equação:
T(0) = T (-0+0) = 0
Até aqui beleza, mas a gente já pode afirmar que T é linear? Nãoooo, percebe que até existem funções que satisfazem isto mas não lineares, por exemplo, se T: → definida por T(x,y,z)=(z, xy), teríamos que:
T(1,1,1) = (1 , 1*1) = (1 , 1)
T(2,2,2) = (2 , 2*2) = (2 , 4)
Como os valores obtidos para T são diferentes, podemos afirmar que não necessariamente T é linear.
Passo 4
d) Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, se T é injetiva o seu núcleo obrigatoriamente é zerado, logo é impossível que w tenha dimensão diferente de 0. Portanto, a afirmativa é verdadeira.
Passo 5
e) a forma mais rápida de resolver a letra E é letrar do conceito básico do Teorema do Núcleo e da Imagem, se uma função possui inversa, ela é injetiva, portanto, a dimensão do seu núcleo é ZEROOO. Assim, dim(Nuc(T)) = 0 , logo é falso que dim(Nuc(T)) = dim(V).
Resposta
a) falso ; b) verdadeiro ; c) falso ; d) verdadeiro ; e) falso