Enunciado

Determine um vetor u → , sabendo que u → , ( 1,1 , 0 ) e ( - 1,3 , 2 ) são l.d., u → é ortogonal a ( 2,1 , - 2 ) e | u |   → =   2 5 .

Passo 1

Fala, pessoal! Vamos começar com a condição de que u → = ( x , y , z ) , ( 1,1 , 0 ) e ( - 1,3 , 2 ) são l.d. Nesse caso, devemos ter

⎜               x                   y                 z     ⎜

⎜               1                 1                   0     ⎜ = x ⋅ ( 2 - 0 ) - y ⋅ ( 2 - 0 ) + z ⋅ ( 3 + 1 ) = 2 x - 2 y + 4 z = 0

⎜ - 1                 3                   2     ⎜

Agora, a condição de u → ser ortogonal a ( 2,1 , - 2 ) nos dá

( x , y , z ) ⋅ ( 2,1 , - 2 ) = 0 ⇒ 2 x + y - 2 z = 0

Vamos reescrever as duas equações que nós conseguimos até agora:

2 x - 2 y + 4 z = 0

2 x + y - 2 z = 0

Subtraindo a primeira da segunda, obtemos

y - 2 z + 2 y - 4 z = 0 ⇒ 3 y - 6 z = 0 ⇒ y = 2 z

Agora, substituímos y = 2 z na segunda equação:

2 x + y - 2 z = 0 ⇒ 2 x + 2 z - 2 z = 0 ⇒ x = 0

Passo 2

Com os resultados do passo anterior, temos u → = ( x , y , z ) = ( 0,2 z , z ) . Para determinar z , só precisamos nos lembrar de um pequeno detalhe: | u |   → =   2 5 . Assim,

| u |   → =   2 5 ⇒ 4 z 2 + z 2 = 2 5 ⇒ 5 z 2 = 2 5

⇒ 5 z 2 = 20 ⇒ z 2 = 4 ⇒ z = ± 2

Assim, temos duas respostas possíveis:

u → = ( 0,4 , 2 ) ou u → = ( 0 , - 4 , - 2 )

Resposta

u → = ( 0,4 , 2 ) ou u → = ( 0 , - 4 , - 2 )