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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 24b

Dizemos que uma matriz A , n   x   n , é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A . (b)Mostre que se A e B são simétricas, então A + B e α A são simétricas, para todo escalar α .

Passo 1

Fala aee, galera! Tudo bem? 😊

Vamos considerar a matriz A sendo:

A = a b c d e f g h i

E a matriz B sendo:

B = j k l m n o p q r

Ah, vamos usar matrizez 3   x   3 para deixar o exemplo mais visível. Para uma matriz n   x   n precisaríamos apenas adicionar as reticências.

Passo 2

Se A e B são matrizes simétricas, então:

A = A t

B = B t

A matriz transposta de A e B são dadas por:

A t = a d g b e h c f i

B t = j m p k n q l o r

Passo 3

As matrizes A + B e α A são dadas por:

A + B = a + j b + k c + l d + m e + n f + o p + g q + h r + i

α A = α a α b α c α d α e α f α g α h α i

A + B e α A serão simétricas se:

A + B = A + B t

α A = α A t

Portanto:

A + B t = a + j d + m p + g b + k e + n 1 + h c + l f + o r + i

Como A = A t e B = B t , então:

a + j b + k c + l d + m e + n f + o p + g q + h r + i = a + j d + m p + g b + k e + n 1 + h c + l f + o r + i

b = d ; c = g ; h = f e m = k ; p = l ; q = o

Analogamente:

α A = α A t

α a α b α c α d α e α f α g α h α i = α a α d α g α b α e α h α c α f α i

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o