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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 24c

Dizemos que uma matriz A , n   x   n , é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A . (c)Mostre que se A e B são simétricas, então A B é simétrica se, e somente se, A B = B A

Passo 1

Fala aee, galera! Tudo bem? 😊

Se A e B são simétricas, então:

A = A t

B = B t

Passo 2

Precisamos lembrar das propriedades das matrizes transpostas e da multiplicação de matrizes, que dizem:

A B t = B t A t = B A

A B é simétrica se:

A B = A B t = B A

Logo, A e B simétricas não garantem a simetria de A B . Entretanto, se A B = B A , então A e B   simétricas garantem simetria de A B .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Em cada parte, discuta como o posto de A varia com t .
Em cada parte, discuta como o posto de A varia com t .
(a) Se A for uma matriz 3 × 5 , então o posto de A é, no máximo, _____. Por quê?(b) Se A for uma matriz 3 × 5 , então a nulidade de A é, no máximo, _____. Por quê?(c) Se A for uma matriz 3 × 5 , então
Em cada parte, use a informação na tabela para encontrar as dimensões do espaço linha de A , do espaço coluna de A , do espaço nulo de A e do espaço nulo de A T .
Em cada parte do Exercício 2 , use os resultados obtidos para encontrar, sem resolver o sistema, o número de variáveis líderes e o número de parâmetros na solução de A x = 0 .