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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 12

Dê as equações dos planos que passam pelo eixo O x e são tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 10 y + 16 = 0 .

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo bem?

Completando quadrados, iremos achar a equação reduzida da esfera:

E : x 2 + y - 5 2 + z 2 = 9

C = 0,5 , 0   e   R = 3

Os planos que passam pelo eixo O x são planos que contém o ponto O = 0,0 , 0 .

Passo 2

A distância entre o ponto O e o centro da esfera é:

d O , C = 5

A distância entre o centro e o ponto de tangência é:

d C , T = R = 3

O raio faz com o ponto de tangência um ângulo reto. Portanto, temos um triângulo retângulo formado por:

d O , C 2 = d C , T 2 + d O , T 2

Assim,

d O , T = 4

Passo 3

Logo, os planos tangentes terão como vetores normais:

n → = ( 0 , ± 3,4 )

Assim, as equações dos planos são:

π 1 : 3 y + 4 z = 0

π 2 : - 3 y + 4 z = 0

Resposta

π 1 : 3 y + 4 z = 0

π 2 : - 3 y + 4 z = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as coordenadas das extremidades do diâmetro da superfície esférica e que é paralelo a reta x+ 1 =- y +5=z -7 .
Ache os planos que passam pela reta t : ( x , y , z )=( 4,5 , - 2 )+m ( 1 , - 1,0 ) e que cortam sobre a superfície esférica S :( x - 1 ) 2+( y - 2 ) 2+ ( z - 1 ) 2 = 16 circunferências de raio 7 .
Dada a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 3 x - 9= 0 e o plano x+ y + z - 1 = 0 ,determine a posição relativa da superfície e o plano;se o plano for:externo, calcule a distância do centro ao plano;
Ache o centro e o raio da circunferência x^2 + y^2 + z^2 - 2 x + 4 y - 4 = 0 ⎨ x - 2 y + z + 1 = 0⎨
Sejam S 1 : x 2 + y 2 + z 2 + 6 x + 4 y + 8 z + 4= 0 e S 2 :x 2 + y 2 + z 2 + 12 x - 8 y + 4 z + 24 = 0 . Mostre que a interseção de S 1 e S 2 é uma circunferência e calcule o seu centro e raio.