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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.1 - Ex. 2

Na figura, A B C D é um paralelogramo. D C ̄ está dividido em três partes iguais, A B ̄ em quatro partes iguais e C B ̄ ao meio.

  1. Escreva x → , y → e z → em função de A B → e A D → .
  2. Escreva z → em função apenas de x → e y → .

Passo 1

  1. E aí, gente? Tudo bom? Então bora para mais uma resolução. Aqui, neste item, temos que notar o seguinte:

    2. x → = O P →

    y → = P Q →

    z → = Q M →

    Então, só resta determinar O P → , P Q → e Q M → em termos de A B → e A D → :

    O P → = O A → + A D → + D P → = - A O → + A D → + D P → = - 1 4 A B → + A D → + 2 3 D C → = - 1 4 A B → + A D → + 2 3 A B →

    x → = O P → = 5 12 A B → + A D →

    P Q → = P D → + D A → + A Q → = - D P → - A D → + A Q → = - 2 3 D C → - A D → + 3 4 A B → = 2 3 A B → - A D → + 3 4 A B →

    y → = P Q → = 1 12 A B → - A D →

    Q M → = Q B → + B M → = 1 4 A B → + 1 2 B C → = 1 4 A B → + 1 2 A D →

    z → = Q M → = 1 4 A B → + 1 2 A D →

    onde usamos A O → = 1 4 A B → , A Q → = 3 4 A B → e Q B → = 1 4 A B → porque A B ̄ está dividido em quatro partes iguais; D P → = 2 3 D C → porque D C ̄ está dividido em três partes iguais; B M → = 1 2 B C → pois C B ̄ está dividido ao meio; D C → = A B → e B C → = A D → pois lados opostos de um paralelogramo são paralelos e de mesmo tamanho.

    Passo 2

  2. Aqui a gente vai seguir aquela famosa receitinha de bolo: vamos escrever z → = α   x → + β y → igualar os dois lados e determinar α ,   β :

z → = α   x → + β y → ⇒ 1 4 A B → + 1 2 A D → = α 5 12 A B → + A D → + β 1 12 A B → - A D →

⇒ 1 4 A B → + 1 2 A D → = ( 5 α + β ) 12 A B → + ( α - β ) A D →

Comparando os dois lados, observamos que

α - β = 1 2 ⇒ 2 α - 2 β = 1

( 5 α + β ) 12 = 1 4 ⇒ ( 5 α + β ) 3 = 1

Como temos 1 no lado direito das duas equações, podemos igualar as duas:

2 α - 2 β = ( 5 α + β ) 3 ⇒ 6 α - 6 β = 5 α + β

⇒ 6 α - 6 β = 5 α + β ⇒ α = 7 β

Vamos substituir α = 7 β em

2 α - 2 β = 1 ⇒ 14 β - 2 β = 1 ⇒ β = 1 12

⇒ α = 7 12

Agora podemos escrever

z → = α   x → + β y → = 7 12   x → + 1 12 y →

Resposta

  1. x → = 5 12 A B → + A D → , y → = 1 12 A B → - A D → , z → = 1 4 A B → + 1 2 A D →
  2. z → = 7 12   x → + 1 12 y →