Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Apêndice.I - Ex. 3
3. Dê os focos, as extremidades dos eixos, e a distância focal da elipse .
Passo 1
E aí, galera! Ficou com dúvida de como resolver essa questão? Não se preocupe porque a gente Responde Aí juntos.
A primeira coisa que temos que fazer é tentar reescrever a equação na seguinte forma:
Então, vamos dividir tudo por para tentar ficar com no lado direito da equação:
Com isso, vemos que para o eixo maior temos e, para o eixo menor, temos . Além disso, vemos que os focos estão em porque está dividindo .
Passo 2
Como os focos estão no eixo , então a coordenada dos focos é a mesma, e igual a do centro da elipse. Olhando para a equação que a gente conseguiu no passo 1, vemos que a elipse está centrada na origem porque não temos nenhum número dentro dos termos ao quadrado nos numeradores. Então, para os dois focos.
A distância focal é dada por . Por outro lado, a distância de cada foco até o centro (na coordenada ) é dada por . Vamos descobrir usando o famoso Teorema de Pitágoras
Então, a distância focal é . Além disso, sabendo que a distância do foco até o centro é , então
De forma semelhante, temos . Assim,
Resumindo, conseguimos mostrar que as coordenadas dos focos são .
Passo 3
Só falta a gente descobrir as coordenadas das extremidades dos eixos. O eixo maior ocorre em . Então, as extremidades estão localizadas em , porque elas estão alinhadas com o centro. Para descobrir as coordenadas em , basta a gente lembrar que a distância de cada uma delas até o centro é . Como centro está em , temos que andar unidades a esquerda do centro (chegando no ponto ) e unidades a direita (chegando em ). Então, as extremidades do eixo maior são
Podemos seguir o mesmo raciocínio para os eixo menor, sabendo que e obter as extremidades