Se uma função proposicional envolve n variáveis, então é preciso quantifica-la n vezes a fim de que ela se torne uma proposição. Quanto a isso, é importante observar que os quantificadores existencial e universal nem sempre comutam entre si, como se pode verificar pelas proposições que se seguem, a primeira verdadeira e a segunda falsa (em ambas o domínio da variável é R ). “Qualquer que seja x, existe y tal que x + y = 1” e “Existe x tal que, qualquer que seja y, x + y = 1”.

Isso posto, quantifique as seguintes funções proposicionais de modo a torna-las verdadeiras (em todas, o universo das duas variáveis é o conjunto dos números reais):

  1. y > x
  2. x + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2
  3. x 2 = y
  4. s e n x + y = s e n x + s e n y
  5. x 2 + y 2 ≥ 0

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Mais uma vez vamos caprichar no português, precisamos tornar as sentenças verdadeiras utilizando as palavrinhas mágicas dos conjuntos: “para todo”, “existe”, “pertence”, entre outras. Vamos lá então!

  1. y > x ; para todo y, existe um x, tal que y > x.
  2. Passo 2

  3. x + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2 ; para todo x e para todo y, a seguinte relação é válida, x + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2
  4. Passo 3

  5. x 2 = y ; existe um x e existe um y para qual a seguinte relação é válida, x 2 = y .
  6. Passo 4

  7. s e n x + y = s e n x + s e n y ; existe um x e existe um y, tal que s e n x + y = s e n x + s e n y .
  8. Passo 5

  9. x 2 + y 2 ≥ 0 ; para todo x e para todo y a soma de seus quadrados sempre maior ou igual a 0, x 2 + y 2 ≥ 0 .

Resposta

  1. Para todo y, existe um x, tal que y > x.
  2. Para todo x e para todo y, a seguinte relação é válida, x + y 2 = x 2 + 2 x y + y 2 .
  3. Existe um x e existe um y para qual a seguinte relação é válida, x 2 = y .
  4. Existe um x e existe um y, tal que s e n x + y = s e n x + s e n y .
  5. Para todo x e para todo y a soma de seus quadrados sempre maior ou igual a 0, x 2 + y 2 ≥ 0 .