Se uma função proposicional envolve n variáveis, então é preciso quantifica-la n vezes a fim de que ela se torne uma proposição. Quanto a isso, é importante observar que os quantificadores existencial e universal nem sempre comutam entre si, como se pode verificar pelas proposições que se seguem, a primeira verdadeira e a segunda falsa (em ambas o domínio da variável é ). “Qualquer que seja x, existe y tal que x + y = 1” e “Existe x tal que, qualquer que seja y, x + y = 1”.
Isso posto, quantifique as seguintes funções proposicionais de modo a torna-las verdadeiras (em todas, o universo das duas variáveis é o conjunto dos números reais):
Passo 1
Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!
Mais uma vez vamos caprichar no português, precisamos tornar as sentenças verdadeiras utilizando as palavrinhas mágicas dos conjuntos: “para todo”, “existe”, “pertence”, entre outras. Vamos lá então!
- ; para todo y, existe um x, tal que y > x.
- ; para todo x e para todo y, a seguinte relação é válida,
- ; existe um x e existe um y para qual a seguinte relação é válida,
- ; existe um x e existe um y, tal que .
- ; para todo x e para todo y a soma de seus quadrados sempre maior ou igual a 0, .
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Resposta
- Para todo y, existe um x, tal que y > x.
- Para todo x e para todo y, a seguinte relação é válida, .
- Existe um x e existe um y para qual a seguinte relação é válida,
- Existe um x e existe um y, tal que .
- Para todo x e para todo y a soma de seus quadrados sempre maior ou igual a 0, .