Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.3 - Ex. 6

Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico.

9 x 2 + y 2 + 6 x y - 10 10 x + 1 0 10 y + 90 = 0

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Podemos reescrever a equação como

X t A X + K X + 90 = 0

Tal que

X =   x y

A = 9 3 3 1

K =   - 10 10 10 10

Passo 2

Calculando o polinômio característico da matriz A:

p(λ) = det ⁡ ( A - λ I 2 ) = det ⁡ 9 - λ 3 3 1 - λ =   λ 2 - 10 λ

Igualando a zero e resolvendo:

λ 2 - 10 λ = 0

λ = 0

λ = 10

Esses são os nossos autovalores, determinando os autovetores, que podem ser ortonormalizados:

9 3 3 1 x y = 0

x y =   V 1

W 1 =   V 1 V 1 = ( 10 10 ,   - 3 10 10 )

E para o segundo autovalor:

- 1 3 3 - 9 x y = 0

x y =   V 2

W 2 =   V 2 V 2 = ( 3 10 10 ,   10 10 )

Dessa forma, podemos dizer que temos:

D = 0 0 0 10 e P = 10 10 3 10 10 - 3 10 10 10 10

Tal que D = P t A P .

Passo 3

Realizando uma mudança de variável de X = PX’, em que

X ' =   x ' y '

Podemos reescrever

X t A X + K X + 90 = 0

Como

X ' t P t A P X ' + K P X ' + 90 = 0

Dessa forma:

x ' y ' 0 0 0 10 x ' y ' + - 10 10 10 10 10 10 3 10 10 - 3 10 10 10 10 x ' y ' + 90 = 0

Realizando as devidas manipulações algébricas e voltando as variáveis para x e y, obtemos, então:

10 y 2 - 20 y - 40 x + 90 = 0

Podemos reescrever como

10 y 2 - 40 x = 0

Dividindo por 10:

y 2 - 4 x = 0

Resposta

Parábola y 2 - 4 x = 0