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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 37

Mostre que a área do triângulo com vértices x i , y i , para i = 1,2 , 3 é igual à det ⁡ A 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , 1 , P 2 = x 2 , y 2 , 1 , P 3 = ( x 3 , y 3 , 1 ) e P 1 ' = x 1 , y 1 , 0 . O volume do paralelepípedo determinado por P 1 , P 2 , P 3   e   P 1 ' é dado por P 1 P 1 ' → . P 1 P 2   → x   P 1 P 3 → . Mas a altura deste paralelepípedo é igual a 1 . Assim, o seu volume é igual à área da base que o paralelogramo determinado por P 1 , P 2   e   P 3 . Observe que O P 1 → , P 1 P 2 →   e   P 1 P 3 → são paralelos ao plano x y .

Passo 1

Fala ae, galera! Tudo bem? 😊

A área de um triângulo é definida por:

S Δ ' = 1 2 d e t ⁡ P 1 P 2 → P 1 P 3 → 1 →

Sendo P 1 ,   P 2 e P 3 pontos desse triângulo.

Passo 2

Agora, vamos construir os vetores do nosso triângulo:

P 1 P 2 → = P 2 - P 1 = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , 0 )

P 1 P 3 → = P 3 - P 1 = ( x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , 0 )

Assim, nosso determinante será:

d e t ⁡ P 1 P 2 → P 1 P 3 → 1 → = x 2 - x 1 y 2 - y 1 0 x 3 - x 1 y 3 - y 1 0 1 1 1

det ⁡ P 1 P 2 → P 1 P 3 → 1 → = x 2 - x 1 y 3 - y 1 - x 3 - x 1 y 2 - y 1

det ⁡ P 1 P 2 → P 1 P 3 → 1 → = x 2 y 3 - x 2 y 1 - x 1 y 3 - x 3 y 2 + y 1 x 3 + x 1 y 2

Portanto, a área do nosso triângulo será:

S Δ ' = 1 2 x 2 y 3 - x 2 y 1 - x 1 y 3 - x 3 y 2 + y 1 x 3 + x 1 y 2

Passo 3

O enunciado definiu a área do triângulo sendo:

S Δ = det ⁡ A 2

Sendo A :

A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1

Portanto, vamos calcular o det ⁡ A :

det ⁡ A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1

det ⁡ A = x 2 y 3 - x 2 y 1 - x 1 y 3 - x 3 y 2 + y 1 x 3 + x 1 y 2

Logo:

S Δ = det ⁡ A 2 = x 2 y 3 - x 2 y 1 - x 1 y 3 - x 3 y 2 + y 1 x 3 + x 1 y 2 2

Concluímos que:

S Δ = S Δ ' = det ⁡ A 2

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .