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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 13

Mostre que se A e uma matriz não singular tal que A 2 = A, então det(A) = 1.

Passo 1

Fala ae, vamos juntos resolver essa questão.

Primeiro, precisamos identificar o que é uma matriz singular.

Uma matriz singular é uma matriz quadrada cujo determinante é nulo. Então uma matriz não singular possui determinante diferente de zero.

Sendo A não singular:

det ⁡ A ≠ 0

Passo 2

Temos que

A 2 = A

Isolando A :

A 2 - A = 0

A A - I = 0

A igualdade acima só será verdadeira de A = 0 ou A = I , sendo I a matriz identidade.

Como A é não singular, A não pode ser igual a zero. Pois, det ⁡ 0 = 0 e det ⁡ A ≠ 0 .

Logo, A = I e det ⁡ I = 1 .

det ⁡ I = det ⁡ A = d e t ⁡ ( 1 )

Resposta

det ⁡ A = 1