Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Geometria Analítica - Reis e Silva- Ed: 2º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 14

a) Mostre que toda esfera tem uma equação da forma x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0 (I)

b) Dê exemplo de uma equação da forma (I) cujo gráfico não é uma esfera.

c) Dê condições necessárias e suficientes sobre os coeficientes a, b, c, e d para que a Equação (I) tenha como gráfico uma esfera.

Passo 1

a) Uma esfera é definida como o lugar geométrico dos pontos equidistantes a um ponto (o centro). Essa distância é o raio da esfera.

Lembrando que a distância entre dois pontos é calculada por : D = ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 + ( z 1 - z 2 ) 2

Assim, a distância de um ponto da esfera qualquer P ( x , y , z ) e o centro dela C ( x 0 , y 0 , z 0 )   será o raio R .

Ou seja,

R = ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

R 2 = ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

R 2 = x 2 - 2 x x 0 + x 0 2 + y 2 - 2 y y 0 + y 0 2 + z 2 - 2 z z 0 + z 0 2

x 2 + y 2 + z 2 + ( - 2 x 0 ) x + ( - 2 y 0 ) y + ( - 2 z 0 ) z + ( x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 - R 2 ) = 0

Como x 0 , y 0 , z 0 , R são constantes, chamaremos de :

a = ( - 2 x 0 ) ;

b = ( - 2 y 0 ) ;

c = ( - 2 z 0 ) ;

d = ( x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 - R 2 )

Assim, qualquer equação da esfera pode ser escrita como:

x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

Passo 2

c) A equação x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0 terá como gráfico uma esfera se pudermos reescrevê-la como R 2 = ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 .

x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

Primeiramente vamos completar quadrados:

( x + a 2 ) 2 - a 2 4 + ( y + b 2 ) 2 - b 2 4 + ( z + c 2 ) 2 - c 2 4 + d = 0

( x + a 2 ) 2 + ( y + b 2 ) 2 + ( z + c 2 ) 2 = a 2 4 + b 2 4 + c 2 4 - d

Essa equação se parece muito com a da esfera, não é?

Então se tivermos a 2 4 + b 2 4 + c 2 4 - d = R 2 , temos a equação de uma esfera.

Mas, isso não ocorre se a 2 4 + b 2 4 + c 2 4 - d ≤ 0 pois teríamos uma esfera de raio nulo ou negativo.

Ou seja, se a 2 4 + b 2 4 + c 2 4 ≤ d não temos uma esfera, mas se a 2 4 + b 2 4 + c 2 4 > d teremos uma esfera de raio R = a 2 4 + b 2 4 + c 2 4 - d e centro ( - a 2 , - b 2 , - c 2 ) .

Passo 3

b) Basta pegarmos quaisquer valor de a,b,c e d tais que a 2 4 + b 2 4 + c 2 4 - d ≤ 0 . Por exemplo: a=b=c=d=1

1 4 + 1 4 + 1 4 - 1 = 3 4 - 1 = - 1 4 ≤ 0

Então, a equação x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z + 1 = 0 não é a equação de uma esfera.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)