Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.4 - Ex. 108
é um paralelograma de diagonais e . Sendo o ponto de interseção das diagonais e, dados e , pedem-se:
- a área do triângulo ;
- a distância do ponto à reta .
Passo 1
- Galera, geralmente nesse tipo de questão se calcula o produto vetorial dos vetores que definem os lados do triângulo. O módulo do vetor resultante, dividido por dois, dá a área do triângulo. Então, precisamos determinar e , por exemplo. Como o ponto de interseção das diagonais então, ele é ponto médio de e . Sendo assim,
- Para descobrir a distância do ponto à reta , vamos considerar o triângulo . A altura do triângulo, , é justamente a distância que queremos calcular e o comprimento da base é . Assim, temos a área do triângulo dada por
Daí, obtemos
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Assim, a área do triângulo é dada por
Passo 2
Então, precisamos tanto da área quanto de . Mas, sabemos que a área de um triângulo pode ser calculada usando . Em todo caso, precisamos determinar o vetor . Mas, pela propriedade do paralelogramo de que seus lados opostos são iguais, então
Relembrando que , podemos calcular :
Assim, a área é dada por
Agora que temos o valor da área e de , podemos obter a distância do ponto à reta :
Por enquanto é só. Te vejo na próxima!
Resposta
- ;
- .